Страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

50.5. Найдите остаток от деления многочлена $A(x)$ на двучлен $B(x)$:

1) $A(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1$, $B(x) = x - 1$;

2) $A(x) = 2x^4 - 4x^3 - x - 1$, $B(x) = x + 2$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Безу, которая утверждает, что остаток от деления многочлена $A(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $c$, то есть $A(c)$.

1) Дан многочлен $A(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1$ и двучлен $B(x) = x - 1$.

В данном случае двучлен имеет вид $(x - c)$, где $c = 1$.

Чтобы найти остаток, нужно вычислить значение многочлена $A(x)$ при $x = 1$.

$A(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1 = 1 + 2 \cdot 1 + 3 + 1 = 1 + 2 + 3 + 1 = 7$.

Следовательно, остаток от деления $A(x)$ на $B(x)$ равен 7.

Ответ: 7

2) Дан многочлен $A(x) = 2x^4 - 4x^3 - x - 1$ и двучлен $B(x) = x + 2$.

Представим двучлен $B(x)$ в виде $(x - c)$: $x + 2 = x - (-2)$. Таким образом, $c = -2$.

Чтобы найти остаток, нужно вычислить значение многочлена $A(x)$ при $x = -2$.

$A(-2) = 2(-2)^4 - 4(-2)^3 - (-2) - 1$

$A(-2) = 2 \cdot 16 - 4 \cdot (-8) + 2 - 1$

$A(-2) = 32 + 32 + 2 - 1 = 64 + 1 = 65$.

Следовательно, остаток от деления $A(x)$ на $B(x)$ равен 65.

Ответ: 65

50.6. Докажите, что многочлен $A(x)$ делится нацело на двучлен $B(x)$:

1) $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 7x + 2$, $B(x) = x + 2$;

2) $A(x) = 5x^5 - 6x^4 - x^2 + x + 1$, $B(x) = x - 1$.

Для доказательства того, что многочлен $A(x)$ делится нацело на двучлен $B(x)$, воспользуемся теоремой Безу (следствием из теоремы о делении многочленов с остатком). Она гласит, что остаток от деления многочлена $A(x)$ на двучлен $x-c$ равен значению этого многочлена в точке $c$, то есть $A(c)$. Если $A(c)=0$, то многочлен $A(x)$ делится на $x-c$ без остатка.

1) Даны многочлены $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 7x + 2$ и $B(x) = x + 2$.
Двучлен $B(x)$ можно представить в виде $x - c$, где $c = -2$.
Найдем значение многочлена $A(x)$ при $x = -2$:
$A(-2) = 2(-2)^3 + 7(-2)^2 + 7(-2) + 2 = 2 \cdot (-8) + 7 \cdot 4 - 14 + 2 = -16 + 28 - 14 + 2 = 12 - 12 = 0$.
Поскольку $A(-2) = 0$, многочлен $A(x)$ делится на двучлен $B(x) = x + 2$ нацело, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что многочлен $A(x)$ делится нацело на двучлен $B(x)$.

2) Даны многочлены $A(x) = 5x^5 - 6x^4 - x^2 + x + 1$ и $B(x) = x - 1$.
Двучлен $B(x)$ представлен в виде $x - c$, где $c = 1$.
Найдем значение многочлена $A(x)$ при $x = 1$:
$A(1) = 5(1)^5 - 6(1)^4 - (1)^2 + 1 + 1 = 5 \cdot 1 - 6 \cdot 1 - 1 + 1 + 1 = 5 - 6 - 1 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$.
Поскольку $A(1) = 0$, многочлен $A(x)$ делится на двучлен $B(x) = x - 1$ нацело, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что многочлен $A(x)$ делится нацело на двучлен $B(x)$.

50.7. Докажите, что $(x^n - a^n) : (x^k - a^k)$, если $n:k$, $n \in N$, $k \in N$.

Требуется доказать, что многочлен $(x^n - a^n)$ делится на многочлен $(x^k - a^k)$ при условии, что натуральное число $n$ делится на натуральное число $k$.

Условие, что $n$ делится на $k$ (обозначается как $n:k$), означает, что существует такое натуральное число $m$, что $n = k \cdot m$.

Преобразуем выражение $x^n - a^n$, используя замену $n = km$: $$x^n - a^n = x^{km} - a^{km}$$

Используя свойство степени, перепишем выражение: $$x^{km} - a^{km} = (x^k)^m - (a^k)^m$$

Для любого натурального $m$ справедлива формула разложения разности $m$-ых степеней: $$y^m - z^m = (y-z)(y^{m-1} + y^{m-2}z + y^{m-3}z^2 + \dots + yz^{m-2} + z^{m-1})$$

Применим эту формулу к нашему выражению, сделав подстановку $y = x^k$ и $z = a^k$: $$(x^k)^m - (a^k)^m = (x^k - a^k) \cdot \left((x^k)^{m-1} + (x^k)^{m-2}(a^k) + \dots + (a^k)^{m-1}\right)$$

Таким образом, мы получили, что: $$x^n - a^n = (x^k - a^k) \cdot \left(x^{k(m-1)} + x^{k(m-2)}a^k + \dots + a^{k(m-1)}\right)$$

Это равенство показывает, что многочлен $x^n - a^n$ можно представить в виде произведения многочлена $x^k - a^k$ и другого многочлена, а именно $x^{k(m-1)} + x^{k(m-2)}a^k + \dots + a^{k(m-1)}$. Это по определению означает, что $x^n - a^n$ делится на $x^k - a^k$ нацело.

Ответ: Доказано. Так как $n:k$, то $n=km$ для некоторого $m \in \mathbb{N}$. Тогда $x^n-a^n = (x^k)^m-(a^k)^m$. Это выражение раскладывается на множители по формуле разности $m$-х степеней, одним из которых является $(x^k-a^k)$, что доказывает делимость.

50.8. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x+1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1$, где $n \in \mathbb{N}$, делится нацело на многочлен, тождественно равный выражению $x(x+1)(2x+1)$.

Обозначим многочлен $P(x) = (x+1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1$ и многочлен $Q(x) = x(x+1)(2x+1)$.

Чтобы доказать, что многочлен $P(x)$ делится нацело на многочлен $Q(x)$, достаточно показать, что все корни многочлена $Q(x)$ являются также и корнями многочлена $P(x)$. Это следует из следствия теоремы Безу, так как все корни $Q(x)$ различны.

Найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $Q(x) = 0$:

$x(x+1)(2x+1) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ и $x_3 = -1/2$.

Теперь проверим, являются ли эти значения корнями многочлена $P(x)$, то есть, выполняется ли равенство $P(x)=0$ при подстановке этих значений.

1. Проверим корень $x = 0$:
$P(0) = (0+1)^{2n} - 0^{2n} - 2(0) - 1 = 1^{2n} - 0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Так как $P(0) = 0$, то $x=0$ является корнем многочлена $P(x)$, и, следовательно, $P(x)$ делится на $x$.

2. Проверим корень $x = -1$:
$P(-1) = (-1+1)^{2n} - (-1)^{2n} - 2(-1) - 1 = 0^{2n} - 1 + 2 - 1$.
Поскольку $n \in \mathbb{N}$, то $2n$ — четное натуральное число ($2n \geq 2$), поэтому $(-1)^{2n} = 1$ и $0^{2n}=0$.
$P(-1) = 0 - 1 + 2 - 1 = 0$.
Так как $P(-1) = 0$, то $x=-1$ является корнем многочлена $P(x)$, и, следовательно, $P(x)$ делится на $(x+1)$.

3. Проверим корень $x = -1/2$:
$P(-1/2) = (-1/2 + 1)^{2n} - (-1/2)^{2n} - 2(-1/2) - 1 = (1/2)^{2n} - (-1/2)^{2n} + 1 - 1$.
Так как степень $2n$ четная, то $(-1/2)^{2n} = (1/2)^{2n}$.
$P(-1/2) = (1/2)^{2n} - (1/2)^{2n} + 1 - 1 = 0$.
Так как $P(-1/2) = 0$, то $x=-1/2$ является корнем многочлена $P(x)$, и, следовательно, $P(x)$ делится на $(x+1/2)$, а значит и на $(2x+1)$.

Поскольку многочлен $P(x)$ имеет корни $0$, $-1$ и $-1/2$, он делится на каждый из линейных множителей $x$, $(x+1)$ и $(2x+1)$. Так как эти множители взаимно просты (не имеют общих корней), то многочлен $P(x)$ делится и на их произведение, то есть на $x(x+1)(2x+1)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

50.9. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x^2 + x - 1)^{2n} + (x^2 - x + 1)^{2n} - 2$, где $n \in N$, делится нацело на многочлен $x^2 - x$.

Для того чтобы доказать, что многочлен $P(x) = (x^2 + x - 1)^{2n} + (x^2 - x + 1)^{2n} - 2$ делится нацело на многочлен $Q(x) = x^2 - x$, необходимо и достаточно доказать, что $P(x)$ обращается в ноль при всех корнях многочлена $Q(x)$.

Найдем корни многочлена-делителя $Q(x) = x^2 - x$.

Приравниваем его к нулю:

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Теперь проверим значение многочлена $P(x)$ в этих точках.

1. Проверка для корня x = 0

Подставим $x = 0$ в выражение для $P(x)$:

$P(0) = (0^2 + 0 - 1)^{2n} + (0^2 - 0 + 1)^{2n} - 2 = (-1)^{2n} + (1)^{2n} - 2$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in N$), то $2n$ — это всегда четное число. Любое число в четной степени неотрицательно. В частности, $(-1)$ в любой четной степени равно 1.

Таким образом, $(-1)^{2n} = 1$ и $(1)^{2n} = 1$.

Следовательно, $P(0) = 1 + 1 - 2 = 0$.

Так как $P(0) = 0$, многочлен $P(x)$ делится на $(x - 0)$, то есть на $x$.

2. Проверка для корня x = 1

Подставим $x = 1$ в выражение для $P(x)$:

$P(1) = (1^2 + 1 - 1)^{2n} + (1^2 - 1 + 1)^{2n} - 2 = (1)^{2n} + (1)^{2n} - 2$.

$P(1) = 1 + 1 - 2 = 0$.

Так как $P(1) = 0$, многочлен $P(x)$ делится на $(x - 1)$.

Поскольку многочлен $P(x)$ делится нацело и на $x$, и на $(x - 1)$, а эти два множителя являются взаимно простыми, то $P(x)$ должен делиться и на их произведение, то есть на $x(x - 1) = x^2 - x$.

Таким образом, мы доказали, что многочлен $(x^2 + x - 1)^{2n} + (x^2 - x + 1)^{2n} - 2$ делится нацело на многочлен $x^2 - x$ при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

50.10. При каких значениях параметра $a$ остаток от деления многочлена $2x^4 - 3x^3 - ax^2 - x - 2$ на двучлен $x + 1$ равен 3?

Для решения этой задачи воспользуемся следствием из теоремы Безу (теоремой об остатке). Она гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - c$ равен значению этого многочлена в точке $x = c$, то есть $R = P(c)$.

В данном случае многочлен $P(x) = 2x^4 - 3x^3 - ax^2 - x - 2$.

Деление производится на двучлен $x + 1$. Чтобы найти значение $c$, приравняем делитель к нулю: $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$. Таким образом, $c = -1$.

По условию задачи, остаток от деления должен быть равен 3. Следовательно, значение многочлена $P(x)$ при $x = -1$ должно быть равно 3: $P(-1) = 3$.

Подставим значение $x = -1$ в выражение для многочлена $P(x)$: $P(-1) = 2(-1)^4 - 3(-1)^3 - a(-1)^2 - (-1) - 2$.

Теперь вычислим значение этого выражения: $P(-1) = 2(1) - 3(-1) - a(1) + 1 - 2$ $P(-1) = 2 + 3 - a + 1 - 2$ $P(-1) = 4 - a$.

Приравниваем полученное выражение к заданному остатку, равному 3: $4 - a = 3$.

Решаем это простое линейное уравнение относительно параметра $a$: $a = 4 - 3$ $a = 1$.

Ответ: 1.

50.11. При каких значениях параметра $b$ многочлен $x^3 + 3x^2 - bx + 6$ делится нацело на двучлен $x + 2$?

Для того чтобы многочлен $P(x) = x^3 + 3x^2 - bx + 6$ делился нацело (без остатка) на двучлен $x+2$, необходимо и достаточно, чтобы значение многочлена $P(x)$ при $x$, равном корню двучлена, было равно нулю. Это утверждение известно как теорема Безу.

Сначала найдем корень двучлена $x+2$:
$x + 2 = 0$
$x = -2$

Теперь подставим это значение $x = -2$ в исходный многочлен и приравняем результат к нулю:
$P(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - b(-2) + 6 = 0$

Вычислим значения степеней и произведений:
$(-2)^3 = -8$
$3(-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$
$-b(-2) = 2b$

Подставим вычисленные значения обратно в уравнение:
$-8 + 12 + 2b + 6 = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно параметра $b$:
$(-8 + 12 + 6) + 2b = 0$
$10 + 2b = 0$
$2b = -10$
$b = \frac{-10}{2}$
$b = -5$

Следовательно, при $b = -5$ многочлен $x^3 + 3x^2 - bx + 6$ делится нацело на двучлен $x+2$.

Ответ: -5.

50.12. При каких значениях параметров $a$, $b$ и $c$ многочлен $x^3 + ax^2 + bx + c$ делится нацело на двучлены $x - 1$ и $x + 2$, а при делении на двучлен $x + 1$ даёт в остатке 10?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Безу. Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-k$ равен значению этого многочлена в точке $k$, то есть $P(k)$.

Обозначим наш многочлен как $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.

1. Деление на $x-1$ нацело
По условию, $P(x)$ делится на $x-1$ нацело, что означает, что остаток от деления равен 0. Следовательно, по теореме Безу, $P(1) = 0$.
$P(1) = 1^3 + a(1)^2 + b(1) + c = 1 + a + b + c$
Получаем первое уравнение:
$a + b + c = -1$ (1)

2. Деление на $x+2$ нацело
Аналогично, $P(x)$ делится на $x+2$ (или $x-(-2)$) нацело, значит, остаток равен 0 и $P(-2) = 0$.
$P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + c = -8 + 4a - 2b + c$
Получаем второе уравнение:
$4a - 2b + c = 8$ (2)

3. Деление на $x+1$ с остатком 10
При делении $P(x)$ на $x+1$ (или $x-(-1)$) остаток равен 10. Это означает, что $P(-1) = 10$.
$P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b + c$
Получаем третье уравнение:
$a - b + c = 11$ (3)

4. Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} a + b + c = -1 \\ 4a - 2b + c = 8 \\ a - b + c = 11 \end{cases}$
Для решения системы вычтем уравнение (3) из уравнения (1):
$(a + b + c) - (a - b + c) = -1 - 11$
$2b = -12$
$b = -6$
Теперь подставим значение $b = -6$ в уравнения (1) и (3):
В уравнение (1): $a - 6 + c = -1 \Rightarrow a + c = 5$
В уравнение (3): $a - (-6) + c = 11 \Rightarrow a + c = 5$
Оба уравнения дали одинаковый результат. Подставим $b = -6$ в уравнение (2):
$4a - 2(-6) + c = 8$
$4a + 12 + c = 8$
$4a + c = -4$
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} a + c = 5 \\ 4a + c = -4 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(4a + c) - (a + c) = -4 - 5$
$3a = -9$
$a = -3$
Наконец, найдем $c$ из уравнения $a + c = 5$:
$-3 + c = 5$
$c = 8$
Таким образом, мы нашли значения параметров: $a = -3$, $b = -6$, $c = 8$.
Ответ: $a = -3, b = -6, c = 8$.

50.13. При каких значениях параметров $a$ и $b$ многочлен $x^3 + ax^2 + bx + ab$ при делении на $x - 2$ даёт в остатке 15, а при делении на $x + 1$ даёт в остатке 0?

Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + ab$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Безу, которая гласит, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - c$ равен значению многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$.

Из условия известно, что при делении многочлена $P(x)$ на $x - 2$ остаток равен 15. Согласно теореме Безу, это означает, что $P(2) = 15$.

Подставим $x=2$ в выражение для многочлена:

$P(2) = 2^3 + a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + ab = 8 + 4a + 2b + ab$.

Приравнивая это выражение к 15, получаем первое уравнение:

$8 + 4a + 2b + ab = 15$

$4a + 2b + ab = 7$

Также из условия известно, что при делении многочлена $P(x)$ на $x + 1$ остаток равен 0. Двучлен $x+1$ можно представить в виде $x - (-1)$, следовательно, по теореме Безу $P(-1) = 0$.

Подставим $x=-1$ в выражение для многочлена:

$P(-1) = (-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + ab = -1 + a - b + ab$.

Приравнивая это выражение к 0, получаем второе уравнение:

$-1 + a - b + ab = 0$

$a - b + ab = 1$

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} 4a + 2b + ab = 7 \\ a - b + ab = 1 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от члена $ab$:

$(4a + 2b + ab) - (a - b + ab) = 7 - 1$

$3a + 3b = 6$

Разделим обе части полученного уравнения на 3:

$a + b = 2$

Из этого простого соотношения выразим $b$ через $a$:

$b = 2 - a$

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение исходной системы ($a - b + ab = 1$):

$a - (2 - a) + a(2 - a) = 1$

$a - 2 + a + 2a - a^2 = 1$

Приведем подобные члены:

$-a^2 + 4a - 2 = 1$

$-a^2 + 4a - 3 = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$a^2 - 4a + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители:

$(a - 1)(a - 3) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для параметра $a$:

$a_1 = 1$

$a_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие значения для параметра $b$, используя ранее полученную формулу $b = 2 - a$.

1. Если $a = 1$, то $b = 2 - 1 = 1$.

2. Если $a = 3$, то $b = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, мы получили две пары значений параметров $(a, b)$, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: $(1; 1)$ или $(3; -1)$.

50.14. Докажите, что выражение $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ делится на-цело на выражение $(a-b)(b-c)(c-a)$.

Для того чтобы доказать, что выражение $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ делится нацело на выражение $(a-b)(b-c)(c-a)$, необходимо показать, что первое выражение можно представить в виде произведения второго выражения на некоторый многочлен. Для этого разложим первое выражение на множители.

Обозначим $P(a, b, c) = a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$. Раскроем скобки:$P(a, b, c) = a^3b - a^3c + b^3c - ab^3 + c^3a - c^3b$.

Сгруппируем слагаемые относительно переменной $a$:$P(a, b, c) = a^3(b-c) - a(b^3-c^3) + (b^3c - bc^3)$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Используем формулу разности кубов $b^3 - c^3 = (b-c)(b^2+bc+c^2)$ и разности квадратов $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$:$P(a, b, c) = a^3(b-c) - a(b-c)(b^2+bc+c^2) + bc(b^2-c^2)$$P(a, b, c) = a^3(b-c) - a(b-c)(b^2+bc+c^2) + bc(b-c)(b+c)$.

Теперь можно вынести общий множитель $(b-c)$ за скобки:$P(a, b, c) = (b-c)[a^3 - a(b^2+bc+c^2) + bc(b+c)]$.

Раскроем скобки внутри квадратных скобок и преобразуем полученное выражение:$a^3 - ab^2 - abc - ac^2 + b^2c + bc^2$. Сгруппируем слагаемые этого выражения, чтобы выделить множитель $(a-c)$:$(a^3 - ac^2) - (ab^2 - b^2c) - (abc - bc^2)$$= a(a^2-c^2) - b^2(a-c) - bc(a-c)$$= a(a-c)(a+c) - b^2(a-c) - bc(a-c)$.

Вынесем общий множитель $(a-c)$ за скобки:$= (a-c)[a(a+c) - b^2 - bc]$$= (a-c)[a^2 + ac - b^2 - bc]$.

Теперь сгруппируем слагаемые в последней скобке, чтобы выделить множитель $(a-b)$:$a^2 - b^2 + ac - bc = (a^2 - b^2) + (ac - bc)$$= (a-b)(a+b) + c(a-b)$$= (a-b)(a+b+c)$.

Таким образом, мы полностью разложили исходное выражение на множители:$P(a, b, c) = (b-c)(a-c)(a-b)(a+b+c)$.

Переставим множители для удобства и изменим знак у множителя $(a-c)$ на $(c-a)$, вынеся минус вперёд:$P(a, b, c) = (a-b)(b-c)(-(c-a))(a+b+c)$$P(a, b, c) = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.

Теперь мы можем выполнить деление:$\frac{a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = -(a+b+c)$.

Результатом деления является многочлен $-(a+b+c)$. Это доказывает, что исходное выражение делится нацело на $(a-b)(b-c)(c-a)$.

Ответ: Доказано, что выражение $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ делится нацело на выражение $(a-b)(b-c)(c-a)$. Частное от деления равно $-(a+b+c)$.

50.15. Докажите, что выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ делится нацело на выражение $x + y + z$.

Чтобы доказать, что выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ делится нацело на выражение $x + y + z$, разложим исходное выражение на множители. Цель — показать, что одним из множителей является $(x + y + z)$.

Для преобразования воспользуемся формулой суммы кубов, представленной в виде $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$. Применим её к первым двум слагаемым $x^3 + y^3$:

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = ((x+y)^3 - 3xy(x+y)) + z^3 - 3xyz$

Теперь сгруппируем слагаемые с кубами и преобразуем оставшуюся часть:

$((x+y)^3 + z^3) - 3xy(x+y) - 3xyz$

К выражению $((x+y)^3 + z^3)$ применим стандартную формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, считая, что $a = x+y$ и $b = z$:

$(x+y+z)((x+y)^2 - z(x+y) + z^2) - 3xy(x+y) - 3xyz$

В оставшейся части $-3xy(x+y) - 3xyz$ вынесем за скобки общий множитель $-3xy$:

$-3xy(x+y) - 3xyz = -3xy(x+y+z)$

Подставим это обратно в общее выражение:

$(x+y+z)((x+y)^2 - z(x+y) + z^2) - 3xy(x+y+z)$

Теперь мы видим, что $(x+y+z)$ является общим множителем для обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:

$(x+y+z) \cdot [((x+y)^2 - z(x+y) + z^2) - 3xy]$

Упростим выражение во вторых скобках, раскрыв их и приведя подобные слагаемые:

$((x+y)^2 - z(x+y) + z^2) - 3xy = (x^2 + 2xy + y^2) - (xz + yz) + z^2 - 3xy$

$= x^2 + 2xy + y^2 - xz - yz + z^2 - 3xy$

$= x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz$

Таким образом, мы получили окончательное разложение на множители:

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz)$

Поскольку исходное выражение представлено в виде произведения, где одним из множителей является $(x+y+z)$, это доказывает, что выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ делится на $x+y+z$ нацело.

Ответ: Доказательство основано на разложении выражения $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ на множители $(x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz)$, что прямо показывает его делимость на $(x+y+z)$.

50.16. Докажите тождество

$a \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + b \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + c \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} = x.$

Обозначим левую часть тождества как $P(x)$.

$P(x) = a \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + b \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + c \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$

$P(x)$ является многочленом от переменной $x$. Поскольку каждое слагаемое содержит произведение двух множителей вида $(x-k)$, степень этого многочлена не превышает 2.

Вычислим значения этого многочлена в трех различных точках: $x=a$, $x=b$ и $x=c$. (Из вида знаменателей в исходном выражении следует, что $a,b,c$ попарно различны).

При $x=a$:

$P(a) = a \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} + b \frac{(a-c)(a-a)}{(b-c)(b-a)} + c \frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)} = a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = a$.

При $x=b$:

$P(b) = a \frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)} + b \frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)} + c \frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)} = a \cdot 0 + b \cdot 1 + c \cdot 0 = b$.

При $x=c$:

$P(c) = a \frac{(c-b)(c-c)}{(a-b)(a-c)} + b \frac{(c-c)(c-a)}{(b-c)(b-a)} + c \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)} = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 1 = c$.

Итак, мы получили, что $P(a)=a$, $P(b)=b$ и $P(c)=c$.

Теперь рассмотрим вспомогательный многочлен $D(x) = P(x) - x$. Степень этого многочлена также не превышает 2.

Найдем значения $D(x)$ в точках $a, b, c$:

$D(a) = P(a) - a = a - a = 0$

$D(b) = P(b) - b = b - b = 0$

$D(c) = P(c) - c = c - c = 0$

Таким образом, многочлен $D(x)$, степень которого не выше второй, имеет три различных корня ($a$, $b$ и $c$). Однако ненулевой многочлен степени не выше второй может иметь не более двух различных корней. Единственная возможность — это когда многочлен $D(x)$ является нулевым многочленом, то есть $D(x) = 0$ для всех $x$.

Отсюда следует, что $P(x) - x = 0$, то есть $P(x) = x$.

Это доказывает исходное тождество.

Ответ: тождество доказано.

50.17. Степень многочлена $P(x)$ равна 100. Известно, что $P(-1) = P(1)$, $P(-2) = P(2)$, ..., $P(-50) = P(50)$. Верно ли, что для любого $x \in R$ выполняется равенство $P(-x) = P(x)$?

Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательный многочлен $Q(x) = P(x) - P(-x)$. Нам нужно доказать, что $Q(x)$ является тождественным нулем, то есть $Q(x) = 0$ для любого $x$.

Сначала определим степень многочлена $Q(x)$. Пусть $P(x) = a_{100}x^{100} + a_{99}x^{99} + \dots + a_1x + a_0$, где $a_{100} \neq 0$, так как степень $P(x)$ равна 100.

Тогда $P(-x) = a_{100}(-x)^{100} + a_{99}(-x)^{99} + \dots + a_1(-x) + a_0 = a_{100}x^{100} - a_{99}x^{99} + \dots - a_1x + a_0$.

Вычтем $P(-x)$ из $P(x)$:$Q(x) = P(x) - P(-x) = (a_{100}x^{100} + a_{99}x^{99} + \dots) - (a_{100}x^{100} - a_{99}x^{99} + \dots)$$Q(x) = 2a_{99}x^{99} + 2a_{97}x^{97} + \dots + 2a_1x$.

Как видим, все слагаемые с четными степенями $x$ сократились. Таким образом, многочлен $Q(x)$ состоит только из слагаемых с нечетными степенями, и его степень не превышает 99. То есть $\text{deg}(Q(x)) \le 99$.

Теперь найдем корни многочлена $Q(x)$. По условию задачи, $P(-k) = P(k)$ для $k=1, 2, \dots, 50$. Это означает, что $P(k) - P(-k) = 0$ для этих значений $k$. Следовательно, $Q(k) = 0$ для $k=1, 2, \dots, 50$. Это дает нам 50 различных корней: $1, 2, \dots, 50$.

Рассмотрим также значения $x = -k$ для $k=1, 2, \dots, 50$.$Q(-k) = P(-k) - P(-(-k)) = P(-k) - P(k)$. Так как $P(-k) = P(k)$, то $Q(-k) = P(k) - P(k) = 0$. Это дает нам еще 50 различных корней: $-1, -2, \dots, -50$.

Наконец, проверим точку $x=0$:$Q(0) = P(0) - P(-0) = P(0) - P(0) = 0$. Значит, $x=0$ также является корнем многочлена $Q(x)$.

Итак, мы нашли следующие различные корни многочлена $Q(x)$: $-50, -49, \dots, -1, 0, 1, \dots, 49, 50$. Общее количество этих корней равно $50 + 1 + 50 = 101$.

Мы получили, что многочлен $Q(x)$, степень которого не превышает 99, имеет по меньшей мере 101 корень. Согласно основной теореме алгебры, ненулевой многочлен степени $n$ может иметь не более $n$ корней. Единственный способ для многочлена степени не выше 99 иметь 101 корень — это если он является нулевым многочленом, то есть $Q(x) \equiv 0$.

Из того, что $Q(x) = 0$ для всех $x \in R$, следует, что $P(x) - P(-x) = 0$, или $P(x) = P(-x)$ для всех $x \in R$.

Ответ: да, верно.