gdz.top
Номер 50.16, страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 50. Деление многочленов. Теорема Безу - номер 50.16, страница 394.
№50.15
№50.16 (с. 394)
Условие. №50.16 (с. 394)
50.16. Докажите тождество
$a \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + b \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + c \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} = x.$
Решение. №50.16 (с. 394)
Обозначим левую часть тождества как $P(x)$.
$P(x) = a \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + b \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + c \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$
$P(x)$ является многочленом от переменной $x$. Поскольку каждое слагаемое содержит произведение двух множителей вида $(x-k)$, степень этого многочлена не превышает 2.
Вычислим значения этого многочлена в трех различных точках: $x=a$, $x=b$ и $x=c$. (Из вида знаменателей в исходном выражении следует, что $a,b,c$ попарно различны).
При $x=a$:
$P(a) = a \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} + b \frac{(a-c)(a-a)}{(b-c)(b-a)} + c \frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)} = a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = a$.
При $x=b$:
$P(b) = a \frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)} + b \frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)} + c \frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)} = a \cdot 0 + b \cdot 1 + c \cdot 0 = b$.
При $x=c$:
$P(c) = a \frac{(c-b)(c-c)}{(a-b)(a-c)} + b \frac{(c-c)(c-a)}{(b-c)(b-a)} + c \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)} = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 1 = c$.
Итак, мы получили, что $P(a)=a$, $P(b)=b$ и $P(c)=c$.
Теперь рассмотрим вспомогательный многочлен $D(x) = P(x) - x$. Степень этого многочлена также не превышает 2.
Найдем значения $D(x)$ в точках $a, b, c$:
$D(a) = P(a) - a = a - a = 0$
$D(b) = P(b) - b = b - b = 0$
$D(c) = P(c) - c = c - c = 0$
Таким образом, многочлен $D(x)$, степень которого не выше второй, имеет три различных корня ($a$, $b$ и $c$). Однако ненулевой многочлен степени не выше второй может иметь не более двух различных корней. Единственная возможность — это когда многочлен $D(x)$ является нулевым многочленом, то есть $D(x) = 0$ для всех $x$.
Отсюда следует, что $P(x) - x = 0$, то есть $P(x) = x$.
Это доказывает исходное тождество.
Ответ: тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 50.16 расположенного на странице 394 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №50.16 (с. 394), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.