Номер 51.4, страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

51.4. Докажите, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ имеет рациональный корень $x_0 = \frac{p}{q}$, где $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь, то $p$ — делитель свободного члена $a_0$, $q$ — делитель старшего коэффициента $a_n$.

Пусть дано целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0$

И пусть это уравнение имеет рациональный корень $x_0 = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа ($q \neq 0$), а дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой. Это означает, что наибольший общий делитель чисел $p$ и $q$ равен 1 (они взаимно просты).

Поскольку $x_0$ является корнем уравнения, при подстановке его в уравнение мы получим верное равенство:

$a_n \left(\frac{p}{q}\right)^n + a_{n-1} \left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + \ldots + a_1 \left(\frac{p}{q}\right) + a_0 = 0$

Умножим обе части этого равенства на $q^n$, чтобы избавиться от знаменателей:

$a_n \frac{p^n}{q^n} \cdot q^n + a_{n-1} \frac{p^{n-1}}{q^{n-1}} \cdot q^n + \ldots + a_1 \frac{p}{q} \cdot q^n + a_0 \cdot q^n = 0$

$a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \ldots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0$

Это равенство (назовем его равенство (1)) является основой для дальнейшего доказательства. Все его члены являются целыми числами.

В равенстве (1) перенесем член $a_0 q^n$ в правую часть, а остальные члены оставим в левой:

$a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \ldots + a_1 p q^{n-1} = -a_0 q^n$

В левой части равенства каждый член содержит множитель $p$. Вынесем $p$ за скобки:

$p (a_n p^{n-1} + a_{n-1} p^{n-2}q + \ldots + a_1 q^{n-1}) = -a_0 q^n$

Так как все коэффициенты $a_i$, а также $p$ и $q$ — целые числа, то выражение в скобках также является целым числом. Из этого следует, что произведение $-a_0 q^n$ делится нацело на $p$.

По условию, дробь $\frac{p}{q}$ несократима, значит, числа $p$ и $q$ взаимно просты. Если два числа взаимно просты, то и любые их натуральные степени также взаимно просты. Следовательно, $p$ и $q^n$ взаимно просты.

Согласно свойству делимости (лемма Евклида), если произведение двух целых чисел делится на некоторое число, которое взаимно просто с одним из сомножителей, то второй сомножитель должен делиться на это число. В нашем случае, произведение $a_0 q^n$ делится на $p$, и при этом $p$ взаимно просто с $q^n$. Следовательно, $a_0$ должно делиться на $p$.

Таким образом, мы доказали, что $p$ является делителем свободного члена $a_0$.

Ответ: Доказано, что $p$ — делитель свободного члена $a_0$.

Вернемся к равенству (1):

$a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \ldots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0$

Теперь выразим член $a_n p^n$, перенеся все остальные члены в правую часть:

$a_n p^n = -a_{n-1} p^{n-1}q - \ldots - a_1 p q^{n-1} - a_0 q^n$

В правой части равенства каждый член содержит множитель $q$. Вынесем $q$ за скобки:

$a_n p^n = -q (a_{n-1} p^{n-1} + a_{n-2} p^{n-2}q + \ldots + a_0 q^{n-1})$

Выражение в скобках является целым числом. Из этого следует, что произведение $-a_n p^n$ делится нацело на $q$.

Как мы уже установили, числа $p$ и $q$ взаимно просты, а значит, и $p^n$ и $q$ также взаимно просты.

Применяя ту же лемму Евклида, из того, что произведение $a_n p^n$ делится на $q$ и $q$ взаимно просто с $p^n$, следует, что $a_n$ должно делиться на $q$.

Таким образом, мы доказали, что $q$ является делителем старшего коэффициента $a_n$.

Ответ: Доказано, что $q$ — делитель старшего коэффициента $a_n$.