Номер 52.3, страница 402 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

52.3. Докажите, что при любом натуральном $n$ выполняется равенство:

1) $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$;

2) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2$;

3) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$;

4) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$.

Для доказательства данных равенств воспользуемся методом математической индукции.

1) Докажем, что $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ для любого натурального $n$.

База индукции. Проверим истинность утверждения для $n = 1$.
Левая часть: $1$.
Правая часть: $\frac{1(1 + 1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$.
$1 = 1$. Утверждение верно для $n = 1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n = k$, то есть:
$1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k + 1)}{2}$.
Докажем, что утверждение верно и для $n = k + 1$, то есть:
$1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{(k + 1)((k + 1) + 1)}{2} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}$.
Рассмотрим левую часть равенства для $n = k + 1$:
$1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1)$.
Используя предположение индукции, заменяем сумму первых $k$ слагаемых:
$\frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1) = \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}$.
Мы получили правую часть равенства для $n = k + 1$.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ доказано.

2) Докажем, что $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2$ для любого натурального $n$.

База индукции. Проверим истинность утверждения для $n = 1$.
Левая часть: $1^3 = 1$.
Правая часть: $\left(\frac{1(1 + 1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1$.
$1 = 1$. Утверждение верно для $n = 1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n = k$, то есть:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \left(\frac{k(k + 1)}{2}\right)^2$.
Докажем, что утверждение верно и для $n = k + 1$, то есть:
$1^3 + 2^3 + ... + (k + 1)^3 = \left(\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\right)^2$.
Рассмотрим левую часть равенства для $n = k + 1$:
$1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k + 1)^3 = (1^3 + 2^3 + ... + k^3) + (k + 1)^3$.
Используя предположение индукции:
$\left(\frac{k(k + 1)}{2}\right)^2 + (k + 1)^3 = \frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3$.
Вынесем общий множитель $(k + 1)^2$ за скобки:
$(k + 1)^2 \left(\frac{k^2}{4} + k + 1\right) = (k + 1)^2 \left(\frac{k^2 + 4k + 4}{4}\right) = (k + 1)^2 \frac{(k + 2)^2}{4} = \left(\frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\right)^2$.
Мы получили правую часть равенства для $n = k + 1$.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2$ доказано.

3) Докажем, что $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ для любого натурального $n$.

База индукции. Проверим истинность утверждения для $n = 1$.
Левая часть: $1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{1(1 + 1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$.
$1 = 1$. Утверждение верно для $n = 1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n = k$, то есть:
$1^2 + 2^2 + ... + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$.
Докажем, что утверждение верно и для $n = k + 1$, то есть:
$1^2 + 2^2 + ... + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2(k + 1) + 1)}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}$.
Рассмотрим левую часть равенства для $n = k + 1$:
$1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k + 1)^2 = (1^2 + 2^2 + ... + k^2) + (k + 1)^2$.
Используя предположение индукции:
$\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 = (k + 1) \left(\frac{k(2k + 1)}{6} + k + 1\right)$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$(k + 1) \left(\frac{2k^2 + k + 6k + 6}{6}\right) = (k + 1) \left(\frac{2k^2 + 7k + 6}{6}\right)$.
Разложим квадратный трехчлен $2k^2 + 7k + 6$ на множители: $2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)$.
Получаем: $\frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}$.
Мы получили правую часть равенства для $n = k + 1$.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ доказано.

4) Докажем, что $1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$ для любого натурального $n$.

База индукции. Проверим истинность утверждения для $n = 1$.
Левая часть: $(2 \cdot 1 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{1(4 \cdot 1^2 - 1)}{3} = \frac{1(4 - 1)}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
$1 = 1$. Утверждение верно для $n = 1$.

Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n = k$, то есть:
$1^2 + 3^2 + ... + (2k - 1)^2 = \frac{k(4k^2 - 1)}{3}$.
Докажем, что утверждение верно и для $n = k + 1$. Следующий член последовательности будет $(2(k+1) - 1)^2 = (2k + 1)^2$. Нам нужно доказать:
$1^2 + 3^2 + ... + (2k - 1)^2 + (2k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(4(k + 1)^2 - 1)}{3}$.
Рассмотрим левую часть равенства для $n = k + 1$:
$(1^2 + 3^2 + ... + (2k - 1)^2) + (2k + 1)^2$.
Используя предположение индукции:
$\frac{k(4k^2 - 1)}{3} + (2k + 1)^2$.
Разложим $4k^2 - 1$ как разность квадратов: $4k^2 - 1 = (2k - 1)(2k + 1)$.
$\frac{k(2k - 1)(2k + 1)}{3} + (2k + 1)^2 = (2k + 1) \left(\frac{k(2k - 1)}{3} + 2k + 1\right)$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$(2k + 1) \left(\frac{2k^2 - k + 3(2k + 1)}{3}\right) = (2k + 1) \left(\frac{2k^2 - k + 6k + 3}{3}\right) = (2k + 1) \left(\frac{2k^2 + 5k + 3}{3}\right)$.
Разложим квадратный трехчлен $2k^2 + 5k + 3$ на множители: $2k^2 + 5k + 3 = (k+1)(2k+3)$.
Получаем: $\frac{(2k + 1)(k + 1)(2k + 3)}{3} = \frac{(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)}{3}$.
Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства: $\frac{(k + 1)(4(k + 1)^2 - 1)}{3}$.
Выражение $4(k+1)^2 - 1$ является разностью квадратов: $(2(k+1))^2 - 1^2 = (2(k+1)-1)(2(k+1)+1) = (2k+1)(2k+3)$.
Таким образом, правая часть равна $\frac{(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)}{3}$.
Левая и правая части совпали. Утверждение для $n = k + 1$ доказано.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство $1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n - 1)^2 = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$ доказано.