Номер 52.2, страница 402 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

52.2. Рассмотрите значения многочлена $f(n) = n^2 + n + 17$ при $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$, $n = 4$ и $n = 5$. Сделайте предположение. Установите, является ли высказанная гипотеза верной.

Рассмотрим значения многочлена $f(n) = n^2 + n + 17$ при $n=1, n=2, n=3, n=4$ и $n=5$.

Вычислим значения функции для каждого из заданных $n$:

• При $n=1$: $f(1) = 1^2 + 1 + 17 = 1 + 1 + 17 = 19$.
• При $n=2$: $f(2) = 2^2 + 2 + 17 = 4 + 2 + 17 = 23$.
• При $n=3$: $f(3) = 3^2 + 3 + 17 = 9 + 3 + 17 = 29$.
• При $n=4$: $f(4) = 4^2 + 4 + 17 = 16 + 4 + 17 = 37$.
• При $n=5$: $f(5) = 5^2 + 5 + 17 = 25 + 5 + 17 = 47$.

Полученные значения: 19, 23, 29, 37, 47. Все эти числа являются простыми.

Сделаем предположение.

На основе полученных результатов можно выдвинуть гипотезу (предположение), что при любом натуральном значении $n$ многочлен $f(n) = n^2 + n + 17$ принимает значение, которое является простым числом.

Установим, является ли высказанная гипотеза верной.

Для того чтобы опровергнуть гипотезу, достаточно найти хотя бы один контрпример, то есть такое натуральное число $n$, при котором значение $f(n)$ будет составным числом.

Рассмотрим выражение $f(n) = n^2 + n + 17 = n(n+1) + 17$.

Если одно из слагаемых $n(n+1)$ или $17$ будет иметь общий делитель с другим (кроме 1), то вся сумма может оказаться составным числом. Очевидно, что если $n$ или $n+1$ будет кратно 17, то и все выражение $n(n+1) + 17$ будет кратно 17.

Проверим значение $n$, при котором $n+1$ кратно 17, например, $n=16$:

$f(16) = 16^2 + 16 + 17 = 256 + 16 + 17 = 289$.

Число 289 не является простым, так как оно делится на 17: $289 = 17 \cdot 17 = 17^2$.

Также можно проверить значение $n=17$:

$f(17) = 17^2 + 17 + 17 = 17 \cdot (17 + 1 + 1) = 17 \cdot 19 = 323$.

Число 323 также является составным.

Поскольку мы нашли контрпример ($n=16$), при котором значение многочлена является составным числом, наша гипотеза неверна.

Ответ: При $n = 1, 2, 3, 4, 5$ значения многочлена равны 19, 23, 29, 37, 47 соответственно. Все эти числа простые. Гипотеза: многочлен $f(n) = n^2 + n + 17$ при любом натуральном $n$ дает простое число. Эта гипотеза неверна, так как при $n=16$ значение многочлена $f(16) = 289 = 17^2$ является составным числом.