Номер 52.9, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

52.9. Докажите, что для любого натурального $n$:

1) $(3^{2n+1} + 2^{n+2}) : 7;$

2) $(6^{2n} + 19^n - 2^{n+1}) : 17.$

1)

Для доказательства того, что выражение $(3^{2n+1} + 2^{n+2})$ делится на 7 при любом натуральном $n$, воспользуемся методом математической индукции или сравнениями по модулю. Метод сравнений по модулю более лаконичен.

Нам нужно доказать, что $3^{2n+1} + 2^{n+2} \equiv 0 \pmod{7}$.

Преобразуем исходное выражение, используя свойства степеней:

$3^{2n+1} + 2^{n+2} = 3 \cdot 3^{2n} + 2^2 \cdot 2^n = 3 \cdot (3^2)^n + 4 \cdot 2^n = 3 \cdot 9^n + 4 \cdot 2^n$.

Теперь рассмотрим основания степеней по модулю 7:

Число 9 при делении на 7 дает в остатке 2, то есть $9 \equiv 2 \pmod{7}$.

Используя свойство сравнений, согласно которому если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$, получаем:

$9^n \equiv 2^n \pmod{7}$.

Подставим это сравнение в наше выражение:

$3 \cdot 9^n + 4 \cdot 2^n \equiv 3 \cdot 2^n + 4 \cdot 2^n \pmod{7}$.

Вынесем общий множитель $2^n$ за скобки:

$(3+4) \cdot 2^n \equiv 7 \cdot 2^n \pmod{7}$.

Поскольку $7 \cdot 2^n$ содержит множитель 7, это выражение делится на 7 без остатка. Следовательно:

$7 \cdot 2^n \equiv 0 \pmod{7}$.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение делится на 7 для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.

2)

Для доказательства того, что выражение $(6^{2n} + 19^n - 2^{n+1})$ делится на 17 при любом натуральном $n$, также воспользуемся сравнениями по модулю.

Нам нужно доказать, что $6^{2n} + 19^n - 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{17}$.

Преобразуем выражение:

$6^{2n} + 19^n - 2^{n+1} = (6^2)^n + 19^n - 2 \cdot 2^n = 36^n + 19^n - 2 \cdot 2^n$.

Рассмотрим основания степеней по модулю 17:

Число 36 при делении на 17 дает в остатке 2, так как $36 = 2 \cdot 17 + 2$. Следовательно, $36 \equiv 2 \pmod{17}$.

Число 19 при делении на 17 дает в остатке 2, так как $19 = 1 \cdot 17 + 2$. Следовательно, $19 \equiv 2 \pmod{17}$.

Подставим полученные сравнения в наше выражение:

$36^n + 19^n - 2 \cdot 2^n \equiv 2^n + 2^n - 2 \cdot 2^n \pmod{17}$.

Упростим правую часть сравнения:

$2^n + 2^n - 2 \cdot 2^n = 2 \cdot 2^n - 2 \cdot 2^n = 0$.

Таким образом, получаем:

$6^{2n} + 19^n - 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{17}$.

Это доказывает, что исходное выражение делится на 17 для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.