Номер 52.5, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

52.5. Выведите формулу для вычисления суммы

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$, где $n \in N$.

Обозначим искомую сумму как $S_n$. Общий член ряда $a_k$ (для $k$ от 1 до $n$) имеет вид:
$a_k = \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

Для нахождения суммы представим каждый член ряда в виде разности двух дробей. Этот метод называется разложением на простейшие дроби. Ищем представление в виде:
$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю и приравняем числители:
$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$
$1 = 2Ak + A + 2Bk - B$
$1 = (2A + 2B)k + (A - B)$

Так как это равенство должно быть верным для любого $k$, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $k$ в левой и правой частях. Это дает нам систему уравнений:
$\begin{cases} 2A + 2B = 0 \\ A - B = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $A = -B$. Подставляя это во второе уравнение, находим:
$(-B) - B = 1 \implies -2B = 1 \implies B = -\frac{1}{2}$.
Соответственно, $A = -B = \frac{1}{2}$.

Таким образом, общий член ряда можно представить в следующем виде:
$a_k = \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1/2}{2k-1} - \frac{1/2}{2k+1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

Теперь мы можем записать всю сумму, используя это разложение:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

Выпишем несколько первых и последних членов суммы, чтобы увидеть, как происходит сокращение:
$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-3} - \frac{1}{2n-1}\right) + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]$

Это телескопическая сумма, в которой все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{3}$ и $+\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{5}$ и $+\frac{1}{5}$, и так далее, до $-\frac{1}{2n-1}$ и $+\frac{1}{2n-1}$. В результате остаются только первое и последнее слагаемые в скобках:
$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

Теперь упростим полученное выражение, чтобы получить окончательную формулу:
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}$

Ответ: $\frac{n}{2n+1}$