Номер 52.4, страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

52.4. Докажите, что при любом натуральном $n$ выполняется равенство:

1) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$;

2) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \ldots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$;

3) $1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n - 1)^3 = n^2 (2n^2 - 1).$

1) Докажем данное равенство методом математической индукции.

Пусть $S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ... + n(n + 1)$. Нам нужно доказать, что $S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$.

База индукции:

Проверим утверждение для $n=1$.

Левая часть: $S_1 = 1 \cdot (1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2$.

Правая часть: $\frac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$.

Так как левая и правая части равны, утверждение верно для $n=1$.

Индукционный переход:

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $S_k = 1 \cdot 2 + ... + k(k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $S_{k+1} = \frac{(k + 1)((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)}{3} = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}$.

Рассмотрим сумму $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = 1 \cdot 2 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = S_k + (k + 1)(k + 2)$.

Используя наше предположение для $S_k$, получаем:

$S_{k+1} = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + (k + 1)(k + 2)$.

Вынесем общий множитель $(k + 1)(k + 2)$ за скобки:

$S_{k+1} = (k + 1)(k + 2) \left(\frac{k}{3} + 1\right) = (k + 1)(k + 2) \left(\frac{k + 3}{3}\right) = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}$.

Мы получили в точности правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажем данное равенство методом математической индукции.

Пусть $S_n = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + ... + n(3n + 1)$. Нам нужно доказать, что $S_n = n(n + 1)^2$.

База индукции:

Проверим утверждение для $n=1$.

Левая часть: $S_1 = 1 \cdot (3 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 4 = 4$.

Правая часть: $1(1 + 1)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4$.

Так как левая и правая части равны, утверждение верно для $n=1$.

Индукционный переход:

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $S_k = 1 \cdot 4 + ... + k(3k + 1) = k(k + 1)^2$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $S_{k+1} = (k + 1)((k + 1) + 1)^2 = (k+1)(k+2)^2$.

Рассмотрим сумму $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = 1 \cdot 4 + ... + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1) = S_k + (k + 1)(3k + 4)$.

Используя наше предположение для $S_k$, получаем:

$S_{k+1} = k(k + 1)^2 + (k + 1)(3k + 4)$.

Вынесем общий множитель $(k + 1)$ за скобки:

$S_{k+1} = (k + 1) [k(k + 1) + (3k + 4)] = (k + 1) (k^2 + k + 3k + 4) = (k + 1) (k^2 + 4k + 4)$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2$.

Следовательно, $S_{k+1} = (k + 1)(k + 2)^2$.

Мы получили в точности правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.

3) Докажем данное равенство методом математической индукции.

Пусть $S_n = 1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2n - 1)^3$. Нам нужно доказать, что $S_n = n^2(2n^2 - 1)$.

База индукции:

Проверим утверждение для $n=1$.

Левая часть: $S_1 = (2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^3 = 1$.

Правая часть: $1^2(2 \cdot 1^2 - 1) = 1(2 - 1) = 1$.

Так как левая и правая части равны, утверждение верно для $n=1$.

Индукционный переход:

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $S_k = 1^3 + ... + (2k - 1)^3 = k^2(2k^2 - 1)$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $S_{k+1} = (k + 1)^2(2(k + 1)^2 - 1)$.

Рассмотрим сумму $S_{k+1}$:

$S_{k+1} = 1^3 + ... + (2k - 1)^3 + (2(k + 1) - 1)^3 = S_k + (2k + 1)^3$.

Используя наше предположение для $S_k$, получаем:

$S_{k+1} = k^2(2k^2 - 1) + (2k + 1)^3$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$S_{k+1} = 2k^4 - k^2 + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.

Теперь преобразуем правую часть равенства для $n=k+1$:

$(k + 1)^2(2(k + 1)^2 - 1) = (k^2 + 2k + 1)(2(k^2 + 2k + 1) - 1) = (k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 2 - 1) = (k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 1)$.

Перемножим многочлены:

$(k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 1) = k^2(2k^2 + 4k + 1) + 2k(2k^2 + 4k + 1) + 1(2k^2 + 4k + 1)$

$= (2k^4 + 4k^3 + k^2) + (4k^3 + 8k^2 + 2k) + (2k^2 + 4k + 1)$

$= 2k^4 + (4k^3 + 4k^3) + (k^2 + 8k^2 + 2k^2) + (2k + 4k) + 1$

$= 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.

Левая и правая части совпали, следовательно, утверждение для $n=k+1$ верно.

Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.