Вопросы?, страница 402 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие выводы называют индуктивными?

2. Опишите схему доказательства методом математической индукции.

3. Из каких двух теорем состоит доказательство методом математической индукции?

1. Какие выводы называют индуктивными?
Индуктивными выводами (или индуктивными умозаключениями) называют общие выводы, сделанные на основе рассмотрения ряда частных, конкретных случаев. Это метод рассуждения, при котором происходит переход от частного знания к общему. Например, наблюдая, что числа 3, 5, 7, 11, 13 — простые, можно сделать индуктивный вывод, что все нечетные числа больше 2 являются простыми. Этот пример показывает главную особенность индукции: в отличие от дедуктивного вывода, индуктивный вывод не всегда является достоверным и может оказаться ложным (в данном примере число 9 — нечетное, но не простое). Таким образом, индукция позволяет выдвигать гипотезы на основе наблюдений.
Ответ: Индуктивные выводы — это обобщения, сделанные на основе наблюдений за частными случаями, то есть умозаключения от частного к общему.

2. Опишите схему доказательства методом математической индукции.
Метод математической индукции применяется для доказательства истинности некоторого утверждения $P(n)$ для всех натуральных чисел $n$, начиная с некоторого числа $n_0$ (чаще всего $n_0=1$). Схема доказательства состоит из двух ключевых шагов:
1. База индукции (или базис индукции). На этом шаге доказывают, что утверждение $P(n)$ справедливо для самого первого (начального) значения $n=n_0$. То есть проверяют истинность $P(n_0)$.
2. Индукционный шаг (или шаг индукции). На этом шаге доказывают, что если утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge n_0$, то оно обязательно будет верно и для следующего за ним числа $k+1$. Для этого:
а) делают индукционное предположение: пусть утверждение $P(k)$ истинно для некоторого $k \ge n_0$.
б) доказывают индукционный переход: используя предположение об истинности $P(k)$, доказывают истинность $P(k+1)$.
Если оба шага (база и шаг) успешно выполнены, то по принципу математической индукции делается вывод, что утверждение $P(n)$ истинно для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.
Ответ: Схема доказательства методом математической индукции включает в себя два этапа: 1) доказательство истинности утверждения для начального значения (база индукции) и 2) доказательство того, что из истинности утверждения для произвольного значения $k$ следует его истинность для $k+1$ (индукционный шаг).

3. Из каких двух теорем состоит доказательство методом математической индукции?
Доказательство методом математической индукции по своей сути является доказательством двух фундаментальных утверждений, которые можно условно назвать двумя теоремами (или леммами):
1. Теорема о базе индукции. Это утверждение о том, что доказываемое свойство $P(n)$ выполняется для начального значения $n=n_0$. То есть доказывается, что утверждение $P(n_0)$ является истинным.
2. Теорема об индукционном переходе. Это утверждение о том, что свойство $P(n)$ "передается по цепочке" от любого натурального числа к следующему. Формально это импликация: для любого натурального числа $k \ge n_0$, если истинно $P(k)$, то истинно и $P(k+1)$. В виде формулы: $\forall k \ge n_0 (P(k) \Rightarrow P(k+1))$.
Совместное доказательство этих двух «теорем» в силу аксиомы (принципа) математической индукции гарантирует истинность утверждения $P(n)$ для всех натуральных чисел $n \ge n_0$.
Ответ: Доказательство методом математической индукции состоит из доказательства двух утверждений: истинности утверждения для начального значения $n_0$ (база индукции) и истинности логического следования $\forall k \ge n_0 (P(k) \Rightarrow P(k+1))$ (индукционный шаг).