Номер 50.17, страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

50.17. Степень многочлена $P(x)$ равна 100. Известно, что $P(-1) = P(1)$, $P(-2) = P(2)$, ..., $P(-50) = P(50)$. Верно ли, что для любого $x \in R$ выполняется равенство $P(-x) = P(x)$?

Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательный многочлен $Q(x) = P(x) - P(-x)$. Нам нужно доказать, что $Q(x)$ является тождественным нулем, то есть $Q(x) = 0$ для любого $x$.

Сначала определим степень многочлена $Q(x)$. Пусть $P(x) = a_{100}x^{100} + a_{99}x^{99} + \dots + a_1x + a_0$, где $a_{100} \neq 0$, так как степень $P(x)$ равна 100.

Тогда $P(-x) = a_{100}(-x)^{100} + a_{99}(-x)^{99} + \dots + a_1(-x) + a_0 = a_{100}x^{100} - a_{99}x^{99} + \dots - a_1x + a_0$.

Вычтем $P(-x)$ из $P(x)$:$Q(x) = P(x) - P(-x) = (a_{100}x^{100} + a_{99}x^{99} + \dots) - (a_{100}x^{100} - a_{99}x^{99} + \dots)$$Q(x) = 2a_{99}x^{99} + 2a_{97}x^{97} + \dots + 2a_1x$.

Как видим, все слагаемые с четными степенями $x$ сократились. Таким образом, многочлен $Q(x)$ состоит только из слагаемых с нечетными степенями, и его степень не превышает 99. То есть $\text{deg}(Q(x)) \le 99$.

Теперь найдем корни многочлена $Q(x)$. По условию задачи, $P(-k) = P(k)$ для $k=1, 2, \dots, 50$. Это означает, что $P(k) - P(-k) = 0$ для этих значений $k$. Следовательно, $Q(k) = 0$ для $k=1, 2, \dots, 50$. Это дает нам 50 различных корней: $1, 2, \dots, 50$.

Рассмотрим также значения $x = -k$ для $k=1, 2, \dots, 50$.$Q(-k) = P(-k) - P(-(-k)) = P(-k) - P(k)$. Так как $P(-k) = P(k)$, то $Q(-k) = P(k) - P(k) = 0$. Это дает нам еще 50 различных корней: $-1, -2, \dots, -50$.

Наконец, проверим точку $x=0$:$Q(0) = P(0) - P(-0) = P(0) - P(0) = 0$. Значит, $x=0$ также является корнем многочлена $Q(x)$.

Итак, мы нашли следующие различные корни многочлена $Q(x)$: $-50, -49, \dots, -1, 0, 1, \dots, 49, 50$. Общее количество этих корней равно $50 + 1 + 50 = 101$.

Мы получили, что многочлен $Q(x)$, степень которого не превышает 99, имеет по меньшей мере 101 корень. Согласно основной теореме алгебры, ненулевой многочлен степени $n$ может иметь не более $n$ корней. Единственный способ для многочлена степени не выше 99 иметь 101 корень — это если он является нулевым многочленом, то есть $Q(x) \equiv 0$.

Из того, что $Q(x) = 0$ для всех $x \in R$, следует, что $P(x) - P(-x) = 0$, или $P(x) = P(-x)$ для всех $x \in R$.

Ответ: да, верно.