Номер 51.1, страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

51.1. Решите уравнение:

1) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = 0;$

2) $2x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0;$

3) $3x^4 + 5x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0;$

4) $5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0;$

5) $2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = 0;$

6) $x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12 = 0.$

1) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = 0$

Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (15). Делители числа 15: $\pm1, \pm3, \pm5, \pm15$.

Подставим $x = -1$:
$(-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0$.
Значит, $x_1 = -1$ является корнем уравнения. Следовательно, многочлен делится на $(x+1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена $x^3 + 9x^2 + 23x + 15$ на $(x+1)$ (например, по схеме Горнера или "уголком"):
$(x^3 + 9x^2 + 23x + 15) \div (x+1) = x^2 + 8x + 15$.

Теперь уравнение можно записать в виде:
$(x+1)(x^2 + 8x + 15) = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 8x + 15 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а произведение равно $15$. Легко подобрать корни: $x_2 = -3$ и $x_3 = -5$.
Либо через дискриминант:
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 = 2^2$.
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 \pm 2}{2}$.
$x_2 = \frac{-8 - 2}{2} = -5$.
$x_3 = \frac{-8 + 2}{2} = -3$.

Таким образом, корни исходного уравнения: $-1, -3, -5$.

Ответ: $-5; -3; -1$.

2) $2x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена $(-2)$, а $q$ — делитель старшего коэффициента $(2)$.

Делители $p$: $\pm1, \pm2$.
Делители $q$: $\pm1, \pm2$.
Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm\frac{1}{2}$.

Подставим $x = -1$:
$2(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 2 = -2 - 1 + 5 - 2 = 0$.
Значит, $x_1 = -1$ является корнем.

Разделим многочлен $2x^3 - x^2 - 5x - 2$ на $(x+1)$:
$(2x^3 - x^2 - 5x - 2) \div (x+1) = 2x^2 - 3x - 2$.

Уравнение примет вид:
$(x+1)(2x^2 - 3x - 2) = 0$.

Решим квадратное уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
$x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$x_3 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Корни исходного уравнения: $-1, -\frac{1}{2}, 2$.

Ответ: $-1; -0,5; 2$.

3) $3x^4 + 5x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0$

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}$.

Подставим $x = 1$:
$3(1)^4 + 5(1)^3 - (1)^2 - 5(1) - 2 = 3 + 5 - 1 - 5 - 2 = 0$.
Значит, $x_1 = 1$ является корнем.

Разделим многочлен на $(x-1)$:
$(3x^4 + 5x^3 - x^2 - 5x - 2) \div (x-1) = 3x^3 + 8x^2 + 7x + 2$.

Получим уравнение $(x-1)(3x^3 + 8x^2 + 7x + 2) = 0$.
Теперь решим $3x^3 + 8x^2 + 7x + 2 = 0$. Проверим те же возможные корни.

Подставим $x = -1$:
$3(-1)^3 + 8(-1)^2 + 7(-1) + 2 = -3 + 8 - 7 + 2 = 0$.
Значит, $x_2 = -1$ является корнем.

Разделим $3x^3 + 8x^2 + 7x + 2$ на $(x+1)$:
$(3x^3 + 8x^2 + 7x + 2) \div (x+1) = 3x^2 + 5x + 2$.

Исходное уравнение можно записать как:
$(x-1)(x+1)(3x^2 + 5x + 2) = 0$.

Решим квадратное уравнение $3x^2 + 5x + 2 = 0$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{-5 \pm 1}{6}$.
$x_3 = \frac{-5 - 1}{6} = -1$.
$x_4 = \frac{-5 + 1}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Корни исходного уравнения: $1, -1$ (кратность 2), $-\frac{2}{3}$.

Ответ: $-1; -\frac{2}{3}; 1$.

4) $5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0$

Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm\frac{1}{5}, \pm\frac{2}{5}, \pm\frac{4}{5}, \pm\frac{8}{5}$.

Подставим $x = 1$:
$5(1)^4 + 9(1)^3 - 2(1)^2 - 4(1) - 8 = 5 + 9 - 2 - 4 - 8 = 0$.
Значит, $x_1 = 1$ является корнем.

Разделим многочлен на $(x-1)$:
$(5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8) \div (x-1) = 5x^3 + 14x^2 + 12x + 8$.

Получим уравнение $(x-1)(5x^3 + 14x^2 + 12x + 8) = 0$.
Теперь решим $5x^3 + 14x^2 + 12x + 8 = 0$.

Подставим $x = -2$:
$5(-2)^3 + 14(-2)^2 + 12(-2) + 8 = 5(-8) + 14(4) - 24 + 8 = -40 + 56 - 24 + 8 = 0$.
Значит, $x_2 = -2$ является корнем.

Разделим $5x^3 + 14x^2 + 12x + 8$ на $(x+2)$:
$(5x^3 + 14x^2 + 12x + 8) \div (x+2) = 5x^2 + 4x + 4$.

Исходное уравнение можно записать как:
$(x-1)(x+2)(5x^2 + 4x + 4) = 0$.

Решим квадратное уравнение $5x^2 + 4x + 4 = 0$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 16 - 80 = -64$.
Так как $D < 0$, действительных корней у этого квадратного уравнения нет.

Действительные корни исходного уравнения: $1$ и $-2$.

Ответ: $-2; 1$.

5) $2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = 0$

Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm\frac{1}{2}$.

Подставим $x = -1$:
$2(-1)^4 - 3(-1)^3 - 7(-1)^2 + 6(-1) + 8 = 2 + 3 - 7 - 6 + 8 = 0$.
Значит, $x_1 = -1$ является корнем.

Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8) \div (x+1) = 2x^3 - 5x^2 - 2x + 8$.

Получим уравнение $(x+1)(2x^3 - 5x^2 - 2x + 8) = 0$.
Теперь решим $2x^3 - 5x^2 - 2x + 8 = 0$.

Подставим $x = 2$:
$2(2)^3 - 5(2)^2 - 2(2) + 8 = 2(8) - 5(4) - 4 + 8 = 16 - 20 - 4 + 8 = 0$.
Значит, $x_2 = 2$ является корнем.

Разделим $2x^3 - 5x^2 - 2x + 8$ на $(x-2)$:
$(2x^3 - 5x^2 - 2x + 8) \div (x-2) = 2x^2 - x - 4$.

Исходное уравнение можно записать как:
$(x+1)(x-2)(2x^2 - x - 4) = 0$.

Решим квадратное уравнение $2x^2 - x - 4 = 0$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 1 + 32 = 33$.
$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$.
$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$.

Корни исходного уравнения: $-1, 2, \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$.

Ответ: $-1; 2; \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$.

6) $x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12 = 0$

Так как все коэффициенты положительны, положительных корней у уравнения нет. Проверим отрицательные целые корни среди делителей числа 12: $-1, -2, -3, -4, -6, -12$.

Подставим $x = -2$:
$(-2)^5 + 8(-2)^4 + 24(-2)^3 + 35(-2)^2 + 28(-2) + 12$
$= -32 + 8(16) + 24(-8) + 35(4) - 56 + 12$
$= -32 + 128 - 192 + 140 - 56 + 12 = 280 - 280 = 0$.
Значит, $x_1 = -2$ является корнем.

Разделим многочлен на $(x+2)$:
$(x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12) \div (x+2) = x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 11x + 6$.

Теперь решим $x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 11x + 6 = 0$. Проверим снова $x = -2$:
$(-2)^4 + 6(-2)^3 + 12(-2)^2 + 11(-2) + 6 = 16 - 48 + 48 - 22 + 6 = 0$.
Значит, $x = -2$ является корнем второй раз (корень кратности 2).

Разделим $x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 11x + 6$ на $(x+2)$:
$(x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 11x + 6) \div (x+2) = x^3 + 4x^2 + 4x + 3$.

Теперь решим $x^3 + 4x^2 + 4x + 3 = 0$. Проверим $x = -3$:
$(-3)^3 + 4(-3)^2 + 4(-3) + 3 = -27 + 36 - 12 + 3 = 0$.
Значит, $x_3 = -3$ является корнем.

Разделим $x^3 + 4x^2 + 4x + 3$ на $(x+3)$:
$(x^3 + 4x^2 + 4x + 3) \div (x+3) = x^2 + x + 1$.

Исходное уравнение можно записать как:
$(x+2)^2(x+3)(x^2 + x + 1) = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + x + 1 = 0$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Действительные корни исходного уравнения: $-2$ (кратность 2) и $-3$.

Ответ: $-3; -2$.