Номер 51.2, страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

51.2. Решите уравнение:

1) $x^3 + x^2 - 4x + 2 = 0$;

2) $x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0$;

3) $x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0$;

4) $x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 4x + 1 = 0$;

5) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$;

6) $3x^4 + 5x^3 - 9x^2 - 9x + 10 = 0$.

1) Дано уравнение $x^3 + x^2 - 4x + 2 = 0$.
По теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями свободного члена 2. Проверим делители: $\pm 1, \pm 2$.
Подставим $x=1$: $1^3 + 1^2 - 4(1) + 2 = 1 + 1 - 4 + 2 = 0$.
Поскольку $x=1$ является корнем, мы можем разделить многочлен $x^3 + x^2 - 4x + 2$ на двучлен $(x-1)$. В результате деления (например, по схеме Горнера) получаем:
$(x-1)(x^2 + 2x - 2) = 0$.
Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 2 = 0$ с помощью формулы для корней:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $1; -1 + \sqrt{3}; -1 - \sqrt{3}$.

2) Дано уравнение $x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0$.
Возможные рациональные корни - делители числа 12: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.
Подставим $x=2$: $2^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 0$.
$x=2$ является корнем. Разделим многочлен на $(x-2)$:
$(x-2)(x^2 + x - 6) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -6. Корни легко находятся подбором: $x=2$ и $x=-3$.
Таким образом, корни исходного уравнения: $x=2$ (корень кратности 2) и $x=-3$.
Ответ: $2; -3$.

3) Дано уравнение $x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0$.
Возможные рациональные корни - делители числа 2: $\pm 1, \pm 2$. Поскольку все коэффициенты уравнения положительны, положительных корней у него быть не может. Проверим отрицательные корни.
Подставим $x=-1$: $(-1)^3 + 4(-1)^2 + 5(-1) + 2 = -1 + 4 - 5 + 2 = 0$.
$x=-1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x+1)(x^2 + 3x + 2) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение 2. Корни: $x=-1$ и $x=-2$.
Таким образом, корни исходного уравнения: $x=-1$ (корень кратности 2) и $x=-2$.
Ответ: $-1; -2$.

4) Дано уравнение $x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 4x + 1 = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^4 - 2x^2 + 1) + (4x^3 - 4x) = 0$.
Заметим, что первая скобка является полным квадратом, а из второй можно вынести общий множитель:
$(x^2 - 1)^2 + 4x(x^2 - 1) = 0$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x^2 - 1)$:
$(x^2 - 1)( (x^2 - 1) + 4x) = 0$
$(x^2 - 1)(x^2 + 4x - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
2) $x^2 + 4x - 1 = 0$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.
Ответ: $\pm 1; -2 \pm \sqrt{5}$.

5) Дано уравнение $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$.
Найдем целые корни среди делителей свободного члена 4: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
Подставим $x=1$: $1 + 2 - 11 + 4 + 4 = 0$. Корень $x=1$.
Подставим $x=2$: $2^4 + 2(2^3) - 11(2^2) + 4(2) + 4 = 16 + 16 - 44 + 8 + 4 = 0$. Корень $x=2$.
Так как $x=1$ и $x=2$ являются корнями, многочлен делится на произведение $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$.
Выполнив деление, получаем:
$(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 5x + 2) = 0$.
Корни первого множителя мы уже нашли: $x=1$ и $x=2$. Найдем корни второго множителя $x^2 + 5x + 2 = 0$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$.
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Ответ: $1; 2; \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

6) Дано уравнение $3x^4 + 5x^3 - 9x^2 - 9x + 10 = 0$.
Попробуем найти рациональные корни вида $p/q$, где $p$ - делитель 10, а $q$ - делитель 3.
Подставим $x=1$: $3 + 5 - 9 - 9 + 10 = 0$. Корень $x=1$.
Подставим $x=-2$: $3(-2)^4 + 5(-2)^3 - 9(-2)^2 - 9(-2) + 10 = 3(16) + 5(-8) - 9(4) + 18 + 10 = 48 - 40 - 36 + 18 + 10 = 0$. Корень $x=-2$.
Следовательно, многочлен делится на $(x-1)(x+2) = x^2 + x - 2$.
Выполнив деление, получаем:
$(x^2 + x - 2)(3x^2 + 2x - 5) = 0$.
Корни первого множителя: $x=1$ и $x=-2$. Решим уравнение $3x^2 + 2x - 5 = 0$.
Так как сумма коэффициентов $3 + 2 - 5 = 0$, то $x=1$ является корнем этого уравнения. Второй корень найдем по теореме Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a = -5/3$. Так как $x_1 = 1$, то $x_2 = -5/3$.
Итоговые корни: $x=1$ (корень кратности 2), $x=-2$, $x=-5/3$.
Ответ: $1; -2; -5/3$.