Страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое уравнение называют целым рациональным?

2. Каким свойством обладают целые корни целого рационального уравнения с целыми коэффициентами?

3. Каково соотношение между множеством делителей свободного члена целого рационального уравнения с целыми коэффициентами и множеством его целых корней?

1. Какое уравнение называют целым рациональным?

Целым рациональным уравнением называют уравнение вида $P(x) = 0$, где $P(x)$ — это многочлен (полином), то есть выражение, которое можно представить в виде:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$

В этом выражении $x$ — это переменная, $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — некоторые числа, называемые коэффициентами (причем $a_n \neq 0$), а $n$ — натуральное число или ноль, которое называется степенью уравнения. Ключевая особенность такого уравнения заключается в том, что оно не содержит операций деления на переменную или на выражение с переменной. Обе части уравнения являются целыми рациональными выражениями.

Ответ: Целым рациональным уравнением называют уравнение, которое можно привести к виду $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен.

2. Каким свойством обладают целые корни целого рационального уравнения с целыми коэффициентами?

Основное свойство целых корней такого уравнения заключается в следующем: любой целый корень целого рационального уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена (коэффициента $a_0$).

Это свойство является следствием теоремы о рациональных корнях многочлена. Докажем его.

Пусть дано уравнение $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, где все коэффициенты $a_i$ являются целыми числами.

Пусть $x_0$ — это некий целый корень данного уравнения. Тогда при его подстановке в уравнение получается верное числовое равенство:

$a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + \dots + a_1 x_0 + a_0 = 0$

Выразим свободный член $a_0$ из этого равенства:

$a_0 = - (a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + \dots + a_1 x_0)$

Теперь в правой части вынесем общий множитель $x_0$ за скобки:

$a_0 = -x_0 (a_n x_0^{n-1} + a_{n-1} x_0^{n-2} + \dots + a_1)$

Поскольку $x_0$ и все коэффициенты $a_i$ — целые числа, то и значение выражения в скобках будет целым числом. Обозначим это целое число буквой $k$. Тогда равенство примет вид:

$a_0 = -x_0 \cdot k$

Из этого равенства видно, что $a_0$ делится на $x_0$ без остатка. Это и доказывает, что любой целый корень $x_0$ является делителем свободного члена $a_0$.

Ответ: Любой целый корень целого рационального уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

3. Каково соотношение между множеством делителей свободного члена целого рационального уравнения с целыми коэффициентами и множеством его целых корней?

Соотношение между этими двумя множествами непосредственно вытекает из свойства, доказанного в предыдущем пункте. Множество всех целых корней уравнения является подмножеством множества всех целых делителей его свободного члена.

Формально, если обозначить:

• $K$ — множество целых корней уравнения,

• $D$ — множество целых делителей свободного члена $a_0$,

тогда справедливо включение $K \subseteq D$.

Это означает, что для поиска целых корней уравнения достаточно проверить только делители его свободного члена. При этом важно понимать, что не каждый делитель свободного члена обязательно будет корнем уравнения. Множество корней может быть значительно меньше множества делителей.

Пример. Решим уравнение $x^3 - 7x - 6 = 0$.

Это целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами. Свободный член $a_0 = -6$.

Множество целых делителей свободного члена: $D = \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \}$.

Если у уравнения есть целые корни, то они находятся среди чисел этого множества. Проверим их последовательной подстановкой:
При $x=1$: $1^3 - 7(1) - 6 = 1 - 7 - 6 = -12 \neq 0$.
При $x=-1$: $(-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$. Значит, $x=-1$ — корень.
При $x=2$: $2^3 - 7(2) - 6 = 8 - 14 - 6 = -12 \neq 0$.
При $x=-2$: $(-2)^3 - 7(-2) - 6 = -8 + 14 - 6 = 0$. Значит, $x=-2$ — корень.
При $x=3$: $3^3 - 7(3) - 6 = 27 - 21 - 6 = 0$. Значит, $x=3$ — корень.
При $x=-3$: $(-3)^3 - 7(-3) - 6 = -27 + 21 - 6 = -12 \neq 0$.
При $x=6$: $6^3 - 7(6) - 6 = 216 - 42 - 6 = 168 \neq 0$.
При $x=-6$: $(-6)^3 - 7(-6) - 6 = -216 + 42 - 6 = -180 \neq 0$.

Таким образом, множество целых корней уравнения: $K = \{-2, -1, 3\}$.

Сравнивая множества $K$ и $D$, мы видим, что все элементы $K$ содержатся в $D$, то есть $K$ является подмножеством $D$ ($K \subset D$).

Ответ: Множество целых корней целого рационального уравнения с целыми коэффициентами является подмножеством множества целых делителей его свободного члена.

51.1. Решите уравнение:

1) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = 0;$

2) $2x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0;$

3) $3x^4 + 5x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0;$

4) $5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0;$

5) $2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = 0;$

6) $x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12 = 0.$

1) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = 0$

Это кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (15). Делители числа 15: $\pm1, \pm3, \pm5, \pm15$.

Подставим $x = -1$:
$(-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0$.
Значит, $x_1 = -1$ является корнем уравнения. Следовательно, многочлен делится на $(x+1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена $x^3 + 9x^2 + 23x + 15$ на $(x+1)$ (например, по схеме Горнера или "уголком"):
$(x^3 + 9x^2 + 23x + 15) \div (x+1) = x^2 + 8x + 15$.

Теперь уравнение можно записать в виде:
$(x+1)(x^2 + 8x + 15) = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + 8x + 15 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а произведение равно $15$. Легко подобрать корни: $x_2 = -3$ и $x_3 = -5$.
Либо через дискриминант:
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 = 2^2$.
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 \pm 2}{2}$.
$x_2 = \frac{-8 - 2}{2} = -5$.
$x_3 = \frac{-8 + 2}{2} = -3$.

Таким образом, корни исходного уравнения: $-1, -3, -5$.

Ответ: $-5; -3; -1$.

2) $2x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена $(-2)$, а $q$ — делитель старшего коэффициента $(2)$.

Делители $p$: $\pm1, \pm2$.
Делители $q$: $\pm1, \pm2$.
Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm\frac{1}{2}$.

Подставим $x = -1$:
$2(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 2 = -2 - 1 + 5 - 2 = 0$.
Значит, $x_1 = -1$ является корнем.

Разделим многочлен $2x^3 - x^2 - 5x - 2$ на $(x+1)$:
$(2x^3 - x^2 - 5x - 2) \div (x+1) = 2x^2 - 3x - 2$.

Уравнение примет вид:
$(x+1)(2x^2 - 3x - 2) = 0$.

Решим квадратное уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
$x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$x_3 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Корни исходного уравнения: $-1, -\frac{1}{2}, 2$.

Ответ: $-1; -0,5; 2$.

3) $3x^4 + 5x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0$

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}$.

Подставим $x = 1$:
$3(1)^4 + 5(1)^3 - (1)^2 - 5(1) - 2 = 3 + 5 - 1 - 5 - 2 = 0$.
Значит, $x_1 = 1$ является корнем.

Разделим многочлен на $(x-1)$:
$(3x^4 + 5x^3 - x^2 - 5x - 2) \div (x-1) = 3x^3 + 8x^2 + 7x + 2$.

Получим уравнение $(x-1)(3x^3 + 8x^2 + 7x + 2) = 0$.
Теперь решим $3x^3 + 8x^2 + 7x + 2 = 0$. Проверим те же возможные корни.

Подставим $x = -1$:
$3(-1)^3 + 8(-1)^2 + 7(-1) + 2 = -3 + 8 - 7 + 2 = 0$.
Значит, $x_2 = -1$ является корнем.

Разделим $3x^3 + 8x^2 + 7x + 2$ на $(x+1)$:
$(3x^3 + 8x^2 + 7x + 2) \div (x+1) = 3x^2 + 5x + 2$.

Исходное уравнение можно записать как:
$(x-1)(x+1)(3x^2 + 5x + 2) = 0$.

Решим квадратное уравнение $3x^2 + 5x + 2 = 0$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{-5 \pm 1}{6}$.
$x_3 = \frac{-5 - 1}{6} = -1$.
$x_4 = \frac{-5 + 1}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Корни исходного уравнения: $1, -1$ (кратность 2), $-\frac{2}{3}$.

Ответ: $-1; -\frac{2}{3}; 1$.

4) $5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0$

Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm\frac{1}{5}, \pm\frac{2}{5}, \pm\frac{4}{5}, \pm\frac{8}{5}$.

Подставим $x = 1$:
$5(1)^4 + 9(1)^3 - 2(1)^2 - 4(1) - 8 = 5 + 9 - 2 - 4 - 8 = 0$.
Значит, $x_1 = 1$ является корнем.

Разделим многочлен на $(x-1)$:
$(5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8) \div (x-1) = 5x^3 + 14x^2 + 12x + 8$.

Получим уравнение $(x-1)(5x^3 + 14x^2 + 12x + 8) = 0$.
Теперь решим $5x^3 + 14x^2 + 12x + 8 = 0$.

Подставим $x = -2$:
$5(-2)^3 + 14(-2)^2 + 12(-2) + 8 = 5(-8) + 14(4) - 24 + 8 = -40 + 56 - 24 + 8 = 0$.
Значит, $x_2 = -2$ является корнем.

Разделим $5x^3 + 14x^2 + 12x + 8$ на $(x+2)$:
$(5x^3 + 14x^2 + 12x + 8) \div (x+2) = 5x^2 + 4x + 4$.

Исходное уравнение можно записать как:
$(x-1)(x+2)(5x^2 + 4x + 4) = 0$.

Решим квадратное уравнение $5x^2 + 4x + 4 = 0$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 16 - 80 = -64$.
Так как $D < 0$, действительных корней у этого квадратного уравнения нет.

Действительные корни исходного уравнения: $1$ и $-2$.

Ответ: $-2; 1$.

5) $2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = 0$

Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm\frac{1}{2}$.

Подставим $x = -1$:
$2(-1)^4 - 3(-1)^3 - 7(-1)^2 + 6(-1) + 8 = 2 + 3 - 7 - 6 + 8 = 0$.
Значит, $x_1 = -1$ является корнем.

Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8) \div (x+1) = 2x^3 - 5x^2 - 2x + 8$.

Получим уравнение $(x+1)(2x^3 - 5x^2 - 2x + 8) = 0$.
Теперь решим $2x^3 - 5x^2 - 2x + 8 = 0$.

Подставим $x = 2$:
$2(2)^3 - 5(2)^2 - 2(2) + 8 = 2(8) - 5(4) - 4 + 8 = 16 - 20 - 4 + 8 = 0$.
Значит, $x_2 = 2$ является корнем.

Разделим $2x^3 - 5x^2 - 2x + 8$ на $(x-2)$:
$(2x^3 - 5x^2 - 2x + 8) \div (x-2) = 2x^2 - x - 4$.

Исходное уравнение можно записать как:
$(x+1)(x-2)(2x^2 - x - 4) = 0$.

Решим квадратное уравнение $2x^2 - x - 4 = 0$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 1 + 32 = 33$.
$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$.
$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$.

Корни исходного уравнения: $-1, 2, \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$.

Ответ: $-1; 2; \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$.

6) $x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12 = 0$

Так как все коэффициенты положительны, положительных корней у уравнения нет. Проверим отрицательные целые корни среди делителей числа 12: $-1, -2, -3, -4, -6, -12$.

Подставим $x = -2$:
$(-2)^5 + 8(-2)^4 + 24(-2)^3 + 35(-2)^2 + 28(-2) + 12$
$= -32 + 8(16) + 24(-8) + 35(4) - 56 + 12$
$= -32 + 128 - 192 + 140 - 56 + 12 = 280 - 280 = 0$.
Значит, $x_1 = -2$ является корнем.

Разделим многочлен на $(x+2)$:
$(x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12) \div (x+2) = x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 11x + 6$.

Теперь решим $x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 11x + 6 = 0$. Проверим снова $x = -2$:
$(-2)^4 + 6(-2)^3 + 12(-2)^2 + 11(-2) + 6 = 16 - 48 + 48 - 22 + 6 = 0$.
Значит, $x = -2$ является корнем второй раз (корень кратности 2).

Разделим $x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 11x + 6$ на $(x+2)$:
$(x^4 + 6x^3 + 12x^2 + 11x + 6) \div (x+2) = x^3 + 4x^2 + 4x + 3$.

Теперь решим $x^3 + 4x^2 + 4x + 3 = 0$. Проверим $x = -3$:
$(-3)^3 + 4(-3)^2 + 4(-3) + 3 = -27 + 36 - 12 + 3 = 0$.
Значит, $x_3 = -3$ является корнем.

Разделим $x^3 + 4x^2 + 4x + 3$ на $(x+3)$:
$(x^3 + 4x^2 + 4x + 3) \div (x+3) = x^2 + x + 1$.

Исходное уравнение можно записать как:
$(x+2)^2(x+3)(x^2 + x + 1) = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 + x + 1 = 0$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Действительные корни исходного уравнения: $-2$ (кратность 2) и $-3$.

Ответ: $-3; -2$.

51.2. Решите уравнение:

1) $x^3 + x^2 - 4x + 2 = 0$;

2) $x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0$;

3) $x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0$;

4) $x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 4x + 1 = 0$;

5) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$;

6) $3x^4 + 5x^3 - 9x^2 - 9x + 10 = 0$.

1) Дано уравнение $x^3 + x^2 - 4x + 2 = 0$.
По теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями свободного члена 2. Проверим делители: $\pm 1, \pm 2$.
Подставим $x=1$: $1^3 + 1^2 - 4(1) + 2 = 1 + 1 - 4 + 2 = 0$.
Поскольку $x=1$ является корнем, мы можем разделить многочлен $x^3 + x^2 - 4x + 2$ на двучлен $(x-1)$. В результате деления (например, по схеме Горнера) получаем:
$(x-1)(x^2 + 2x - 2) = 0$.
Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 2 = 0$ с помощью формулы для корней:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $1; -1 + \sqrt{3}; -1 - \sqrt{3}$.

2) Дано уравнение $x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0$.
Возможные рациональные корни - делители числа 12: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.
Подставим $x=2$: $2^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 0$.
$x=2$ является корнем. Разделим многочлен на $(x-2)$:
$(x-2)(x^2 + x - 6) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -6. Корни легко находятся подбором: $x=2$ и $x=-3$.
Таким образом, корни исходного уравнения: $x=2$ (корень кратности 2) и $x=-3$.
Ответ: $2; -3$.

3) Дано уравнение $x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0$.
Возможные рациональные корни - делители числа 2: $\pm 1, \pm 2$. Поскольку все коэффициенты уравнения положительны, положительных корней у него быть не может. Проверим отрицательные корни.
Подставим $x=-1$: $(-1)^3 + 4(-1)^2 + 5(-1) + 2 = -1 + 4 - 5 + 2 = 0$.
$x=-1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x+1)(x^2 + 3x + 2) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение 2. Корни: $x=-1$ и $x=-2$.
Таким образом, корни исходного уравнения: $x=-1$ (корень кратности 2) и $x=-2$.
Ответ: $-1; -2$.

4) Дано уравнение $x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 4x + 1 = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^4 - 2x^2 + 1) + (4x^3 - 4x) = 0$.
Заметим, что первая скобка является полным квадратом, а из второй можно вынести общий множитель:
$(x^2 - 1)^2 + 4x(x^2 - 1) = 0$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x^2 - 1)$:
$(x^2 - 1)( (x^2 - 1) + 4x) = 0$
$(x^2 - 1)(x^2 + 4x - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
2) $x^2 + 4x - 1 = 0$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.
Ответ: $\pm 1; -2 \pm \sqrt{5}$.

5) Дано уравнение $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$.
Найдем целые корни среди делителей свободного члена 4: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
Подставим $x=1$: $1 + 2 - 11 + 4 + 4 = 0$. Корень $x=1$.
Подставим $x=2$: $2^4 + 2(2^3) - 11(2^2) + 4(2) + 4 = 16 + 16 - 44 + 8 + 4 = 0$. Корень $x=2$.
Так как $x=1$ и $x=2$ являются корнями, многочлен делится на произведение $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$.
Выполнив деление, получаем:
$(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 5x + 2) = 0$.
Корни первого множителя мы уже нашли: $x=1$ и $x=2$. Найдем корни второго множителя $x^2 + 5x + 2 = 0$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$.
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Ответ: $1; 2; \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

6) Дано уравнение $3x^4 + 5x^3 - 9x^2 - 9x + 10 = 0$.
Попробуем найти рациональные корни вида $p/q$, где $p$ - делитель 10, а $q$ - делитель 3.
Подставим $x=1$: $3 + 5 - 9 - 9 + 10 = 0$. Корень $x=1$.
Подставим $x=-2$: $3(-2)^4 + 5(-2)^3 - 9(-2)^2 - 9(-2) + 10 = 3(16) + 5(-8) - 9(4) + 18 + 10 = 48 - 40 - 36 + 18 + 10 = 0$. Корень $x=-2$.
Следовательно, многочлен делится на $(x-1)(x+2) = x^2 + x - 2$.
Выполнив деление, получаем:
$(x^2 + x - 2)(3x^2 + 2x - 5) = 0$.
Корни первого множителя: $x=1$ и $x=-2$. Решим уравнение $3x^2 + 2x - 5 = 0$.
Так как сумма коэффициентов $3 + 2 - 5 = 0$, то $x=1$ является корнем этого уравнения. Второй корень найдем по теореме Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a = -5/3$. Так как $x_1 = 1$, то $x_2 = -5/3$.
Итоговые корни: $x=1$ (корень кратности 2), $x=-2$, $x=-5/3$.
Ответ: $1; -2; -5/3$.

51.3. Докажите, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0$ имеет рациональный корень, то он является целым числом.

51.3.

Пусть дано целое рациональное уравнение (многочлен) с целыми коэффициентами: $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$, где коэффициенты $a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_1, a_0$ являются целыми числами.

Предположим, что это уравнение имеет рациональный корень $x_0$. Любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби. Пусть: $x_0 = \frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$ (целое число), $q \in \mathbb{N}$ (натуральное число, т.е. $q \geq 1$), и наибольший общий делитель чисел $p$ и $q$ равен 1, то есть НОД$(p, q) = 1$. Наша цель — доказать, что $q=1$, что будет означать, что корень $x_0 = p$ является целым числом.

Подставим корень $x_0 = \frac{p}{q}$ в исходное уравнение: $(\frac{p}{q})^n + a_{n-1}(\frac{p}{q})^{n-1} + ... + a_1(\frac{p}{q}) + a_0 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $q^n$. Так как $q \in \mathbb{N}$, то $q^n \neq 0$, и это преобразование является равносильным. $p^n + a_{n-1}p^{n-1}q + a_{n-2}p^{n-2}q^2 + ... + a_1pq^{n-1} + a_0q^n = 0$

Перенесем все члены, кроме первого, в правую часть уравнения: $p^n = -a_{n-1}p^{n-1}q - a_{n-2}p^{n-2}q^2 - ... - a_1pq^{n-1} - a_0q^n$

В правой части уравнения каждый член содержит множитель $q$. Вынесем $q$ за скобки: $p^n = q(-a_{n-1}p^{n-1} - a_{n-2}p^{n-2}q - ... - a_1pq^{n-2} - a_0q^{n-1})$

Поскольку $p, q$ и все коэффициенты $a_i$ являются целыми числами, выражение в скобках также является целым числом. Обозначим это целое число как $K$: $K = -a_{n-1}p^{n-1} - a_{n-2}p^{n-2}q - ... - a_1pq^{n-2} - a_0q^{n-1} \in \mathbb{Z}$

Таким образом, мы получаем равенство $p^n = qK$. Из этого равенства следует, что $p^n$ делится на $q$ нацело (или $q$ является делителем $p^n$).

Теперь воспользуемся тем фактом, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима, то есть числа $p$ и $q$ взаимно просты (НОД$(p, q) = 1$). Из теории чисел известно, что если число $q$ делит произведение $p^n = p \cdot p \cdot ... \cdot p$ и при этом $q$ взаимно просто с $p$, то $q$ должно быть равно 1 (или -1). Поскольку мы определили $q$ как натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), единственной возможностью является $q=1$.

Если $q=1$, то наш рациональный корень $x_0 = \frac{p}{q} = \frac{p}{1} = p$. Так как $p$ — целое число, то и корень $x_0$ является целым числом.

Таким образом, мы доказали, что если данное уравнение имеет рациональный корень, то этот корень обязательно является целым числом.

Ответ: Утверждение доказано.

51.4. Докажите, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ имеет рациональный корень $x_0 = \frac{p}{q}$, где $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь, то $p$ — делитель свободного члена $a_0$, $q$ — делитель старшего коэффициента $a_n$.

Пусть дано целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = 0$

И пусть это уравнение имеет рациональный корень $x_0 = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа ($q \neq 0$), а дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой. Это означает, что наибольший общий делитель чисел $p$ и $q$ равен 1 (они взаимно просты).

Поскольку $x_0$ является корнем уравнения, при подстановке его в уравнение мы получим верное равенство:

$a_n \left(\frac{p}{q}\right)^n + a_{n-1} \left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + \ldots + a_1 \left(\frac{p}{q}\right) + a_0 = 0$

Умножим обе части этого равенства на $q^n$, чтобы избавиться от знаменателей:

$a_n \frac{p^n}{q^n} \cdot q^n + a_{n-1} \frac{p^{n-1}}{q^{n-1}} \cdot q^n + \ldots + a_1 \frac{p}{q} \cdot q^n + a_0 \cdot q^n = 0$

$a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \ldots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0$

Это равенство (назовем его равенство (1)) является основой для дальнейшего доказательства. Все его члены являются целыми числами.

В равенстве (1) перенесем член $a_0 q^n$ в правую часть, а остальные члены оставим в левой:

$a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \ldots + a_1 p q^{n-1} = -a_0 q^n$

В левой части равенства каждый член содержит множитель $p$. Вынесем $p$ за скобки:

$p (a_n p^{n-1} + a_{n-1} p^{n-2}q + \ldots + a_1 q^{n-1}) = -a_0 q^n$

Так как все коэффициенты $a_i$, а также $p$ и $q$ — целые числа, то выражение в скобках также является целым числом. Из этого следует, что произведение $-a_0 q^n$ делится нацело на $p$.

По условию, дробь $\frac{p}{q}$ несократима, значит, числа $p$ и $q$ взаимно просты. Если два числа взаимно просты, то и любые их натуральные степени также взаимно просты. Следовательно, $p$ и $q^n$ взаимно просты.

Согласно свойству делимости (лемма Евклида), если произведение двух целых чисел делится на некоторое число, которое взаимно просто с одним из сомножителей, то второй сомножитель должен делиться на это число. В нашем случае, произведение $a_0 q^n$ делится на $p$, и при этом $p$ взаимно просто с $q^n$. Следовательно, $a_0$ должно делиться на $p$.

Таким образом, мы доказали, что $p$ является делителем свободного члена $a_0$.

Ответ: Доказано, что $p$ — делитель свободного члена $a_0$.

Вернемся к равенству (1):

$a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \ldots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0$

Теперь выразим член $a_n p^n$, перенеся все остальные члены в правую часть:

$a_n p^n = -a_{n-1} p^{n-1}q - \ldots - a_1 p q^{n-1} - a_0 q^n$

В правой части равенства каждый член содержит множитель $q$. Вынесем $q$ за скобки:

$a_n p^n = -q (a_{n-1} p^{n-1} + a_{n-2} p^{n-2}q + \ldots + a_0 q^{n-1})$

Выражение в скобках является целым числом. Из этого следует, что произведение $-a_n p^n$ делится нацело на $q$.

Как мы уже установили, числа $p$ и $q$ взаимно просты, а значит, и $p^n$ и $q$ также взаимно просты.

Применяя ту же лемму Евклида, из того, что произведение $a_n p^n$ делится на $q$ и $q$ взаимно просто с $p^n$, следует, что $a_n$ должно делиться на $q$.

Таким образом, мы доказали, что $q$ является делителем старшего коэффициента $a_n$.

Ответ: Доказано, что $q$ — делитель старшего коэффициента $a_n$.