Страница 404 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Задайте с помощью перечисления элементов множество:

1) $A = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, x(2|x| - 1) = 0\};$

2) $B = \{x \mid x \in \mathbb{N}, -3 \le x < 2\}.$

1) Множество $A$ задано условием $x \in Z$ и $x(2|x| - 1) = 0$. Это означает, что мы ищем все целые числа $x$, которые являются корнями данного уравнения.
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Поэтому рассмотрим два случая:

• $x = 0$. Число $0$ является целым ($0 \in Z$), поэтому это одно из решений.
• $2|x| - 1 = 0$. Решим это уравнение: $2|x| = 1$, откуда $|x| = \frac{1}{2}$. Это уравнение имеет два корня: $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$. Оба этих числа не являются целыми, поэтому они не входят в множество $A$.

Таким образом, единственным целым числом, удовлетворяющим условию, является $0$.
Ответ: $A = \{0\}$.

2) Множество $B$ задано условием $x \in N$ и $-3 \le x < 2$. Это означает, что мы ищем все натуральные числа $x$, которые лежат в указанном промежутке.
Сначала определим все целые числа, удовлетворяющие неравенству $-3 \le x < 2$. Это числа: $-3, -2, -1, 0, 1$.
Теперь из этого списка выберем только натуральные числа. Множество натуральных чисел $N$ — это множество положительных целых чисел, используемых для счета: $N = \{1, 2, 3, ...\}$.
Из списка $\{-3, -2, -1, 0, 1\}$ только число $1$ является натуральным.
Следовательно, множество $B$ состоит из одного элемента.
Ответ: $B = \{1\}$.

2. Укажите равные множества:

$A = \{x \mid x = 6n - 3, n \in N\}$

$B = \{x \mid x = 3n, n \in N\}$

$C = \{x \mid x \text{ кратно 3 и не кратно 2}\}$

$D = \{x \mid x = 6n + 3, n \in N\}$

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Чтобы определить, какие из предложенных множеств равны, проанализируем каждое из них. Будем считать, что $\mathbb{N}$ — это множество натуральных чисел, то есть $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

A. Множество $A = \{x \mid x = 6n - 3, n \in \mathbb{N}\}$.

Найдем первые несколько элементов множества A, подставляя вместо $n$ значения 1, 2, 3 и так далее:

• При $n=1$: $x = 6 \cdot 1 - 3 = 3$
• При $n=2$: $x = 6 \cdot 2 - 3 = 12 - 3 = 9$
• При $n=3$: $x = 6 \cdot 3 - 3 = 18 - 3 = 15$
• При $n=4$: $x = 6 \cdot 4 - 3 = 24 - 3 = 21$

Таким образом, $A = \{3, 9, 15, 21, ...\}$.
Рассмотрим общий вид элементов множества A: $x = 6n - 3 = 3(2n - 1)$. Поскольку $n \in \mathbb{N}$, выражение $2n-1$ последовательно принимает значения $1, 3, 5, ...$, то есть все нечетные натуральные числа. Следовательно, множество A состоит из всех натуральных чисел, являющихся произведением числа 3 на нечетное натуральное число. Это все нечетные числа, кратные 3.

B. Множество $B = \{x \mid x = 3n, n \in \mathbb{N}\}$.

Найдем первые несколько элементов множества B:

• При $n=1$: $x = 3 \cdot 1 = 3$
• При $n=2$: $x = 3 \cdot 2 = 6$
• При $n=3$: $x = 3 \cdot 3 = 9$
• При $n=4$: $x = 3 \cdot 4 = 12$

Таким образом, $B = \{3, 6, 9, 12, ...\}$. Это множество всех натуральных чисел, кратных 3.

C. Множество $C = \{x \mid x \text{ кратно 3 и не кратно 2}\}$.

Это множество состоит из натуральных чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2. Числа, не кратные 2, являются нечетными. Значит, C — это множество всех нечетных натуральных чисел, кратных 3.
Выпишем первые несколько таких чисел: 3, 9, 15, 21, ...
Таким образом, $C = \{3, 9, 15, 21, ...\}$.

D. Множество $D = \{x \mid x = 6n + 3, n \in \mathbb{N}\}$.

Найдем первые несколько элементов множества D:

• При $n=1$: $x = 6 \cdot 1 + 3 = 9$
• При $n=2$: $x = 6 \cdot 2 + 3 = 12 + 3 = 15$
• При $n=3$: $x = 6 \cdot 3 + 3 = 18 + 3 = 21$
• При $n=4$: $x = 6 \cdot 4 + 3 = 24 + 3 = 27$

Таким образом, $D = \{9, 15, 21, 27, ...\}$. Это множество также состоит из нечетных чисел, кратных 3, но наименьший элемент в нем — 9. В этом множестве отсутствует число 3, которое есть в множествах A и C.

Сравнение множеств и вывод

Сравнив полученные множества:

• $A = \{3, 9, 15, 21, ...\}$
• $B = \{3, 6, 9, 12, ...\}$
• $C = \{3, 9, 15, 21, ...\}$
• $D = \{9, 15, 21, 27, ...\}$

Видно, что множества A и C содержат одинаковые элементы. Множество B отличается тем, что содержит четные числа (например, 6). Множество D отличается тем, что не содержит число 3.

Докажем формально, что $A = C$. Для этого нужно показать, что $A \subseteq C$ и $C \subseteq A$.
1. Докажем, что каждый элемент множества A принадлежит множеству C ($A \subseteq C$).
Пусть $x \in A$. Тогда $x = 6n - 3$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$.
Можно записать $x = 3(2n - 1)$. Отсюда следует, что $x$ кратно 3.
Также $x = 6n - 3$ является нечетным числом, так как является разностью четного числа $6n$ и нечетного числа 3. Нечетное число не кратно 2.
Таким образом, любой элемент $x$ из A кратен 3 и не кратен 2, а значит $x \in C$.
2. Докажем, что каждый элемент множества C принадлежит множеству A ($C \subseteq A$).
Пусть $y \in C$. Тогда $y$ кратно 3 и $y$ — нечетное натуральное число.
Поскольку $y$ кратно 3, его можно представить в виде $y = 3k$ для некоторого натурального числа $k$.
Поскольку $y$ нечетное, то произведение $3k$ должно быть нечетным, что возможно только если $k$ — нечетное число.
Любое нечетное натуральное число $k$ можно представить в виде $k = 2n - 1$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$. (При $n=1$, $k=1$; при $n=2$, $k=3$; и т.д.).
Подставив это в выражение для $y$, получаем: $y = 3k = 3(2n - 1) = 6n - 3$.
Это в точности формула для элементов множества A. Значит, $y \in A$.
Поскольку $A \subseteq C$ и $C \subseteq A$, множества A и C равны.

Ответ: $A = C$.

3. На языке «необходимо и достаточно» опишите принадлежность элемента $x$ множествам $A$, $B$ и $C$ (рис. 1).

а

Принадлежность элемента $x$ множеству $B$ является необходимым и достаточным условием для того, чтобы $x$ принадлежал множеству $A$ и множеству $B$.

$x \in B \iff (x \in A \land x \in B)$

б

Принадлежность элемента $x$ множеству $C$ является необходимым и достаточным условием для того, чтобы $x$ принадлежал множеству $A$ и множеству $B$.

$x \in C \iff (x \in A \land x \in B)$

в

Принадлежность элемента $x$ множеству $C$ является необходимым и достаточным условием для того, чтобы $x$ принадлежал множеству $A$, принадлежал множеству $C$ и не принадлежал множеству $B$.

$x \in C \iff (x \in A \land x \in C \land x \notin B)$

Принадлежность элемента $x$ множеству $B$ является необходимым и достаточным условием для того, чтобы $x$ принадлежал множеству $A$, принадлежал множеству $B$ и не принадлежал множеству $C$.

$x \in B \iff (x \in A \land x \in B \land x \notin C)$

Рис. 1

а

На рисунке а множество $B$ является подмножеством множества $A$ ($B \subset A$), то есть целиком содержится в нём. Это означает, что любой элемент множества $B$ также является и элементом множества $A$. Исходя из этого, можно сделать два вывода:
1. Принадлежность элемента $x$ множеству $B$ является достаточным условием для его принадлежности множеству $A$. Другими словами, если $x \in B$, то этого достаточно, чтобы утверждать, что $x \in A$.
2. Принадлежность элемента $x$ множеству $A$ является необходимым условием для его принадлежности множеству $B$. То есть, если элемент $x$ не принадлежит множеству $A$, он не может принадлежать и множеству $B$ ($x \notin A \implies x \notin B$).
Ответ: Для принадлежности элемента $x$ множеству $A$ достаточно его принадлежности множеству $B$. Для принадлежности элемента $x$ множеству $B$ необходимо его принадлежность множеству $A$.

б

На рисунке б множество $C$ является пересечением множеств $A$ и $B$ ($C = A \cap B$). Это означает, что $C$ состоит из элементов, которые принадлежат одновременно множествам $A$ и $B$.
Следовательно, для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству $C$, необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал обоим множествам $A$ и $B$. Условие ($x \in A$ и $x \in B$) является одновременно и необходимым (без него $x$ не попадёт в $C$), и достаточным (его выполнения достаточно, чтобы $x$ оказался в $C$).
Это отношение выражается формулой эквивалентности: $(x \in C) \iff (x \in A \land x \in B)$.
Ответ: Для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству $C$, необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал одновременно множествам $A$ и $B$.

в

На рисунке в множество $A$ представляет собой объединение двух непересекающихся множеств $B$ и $C$ ($A = B \cup C$ и $B \cap C = \emptyset$). Это значит, что $A$ состоит из всех элементов, принадлежащих либо $B$, либо $C$.
Поэтому для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству $A$, необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал или множеству $B$, или множеству $C$. Если $x$ принадлежит $B$ или $C$, этого достаточно для его принадлежности $A$. Если же $x$ принадлежит $A$, то он необходимо принадлежит либо $B$, либо $C$.
Это отношение выражается формулой эквивалентности: $(x \in A) \iff (x \in B \lor x \in C)$.
Ответ: Для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству $A$, необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал множеству $B$ или множеству $C$.

4. Из анкетирования, проведённого в классе, выяснилось, что из 30 учащихся класса у 18 есть брат, у 14 — сестра, а у 10 учащихся есть сестра и брат. Есть ли в этом классе учащиеся, у которых нет ни сестры, ни брата?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием множеств и формулой включений-исключений.

Пусть:

• $U$ — общее число учащихся в классе, $|U| = 30$.
• $Б$ — множество учащихся, у которых есть брат, $|Б| = 18$.
• $С$ — множество учащихся, у которых есть сестра, $|С| = 14$.
• $Б \cap С$ — множество учащихся, у которых есть и брат, и сестра (пересечение множеств), $|Б \cap С| = 10$.

Сначала необходимо найти, сколько всего учащихся имеют хотя бы одного из родственников: брата или сестру. Это соответствует объединению множеств $Б$ и $С$, то есть $|Б \cup С|$.

Для нахождения числа элементов в объединении двух множеств используется формула включений-исключений:

$|Б \cup С| = |Б| + |С| - |Б \cap С|$

Подставим в формулу данные из условия задачи:

$|Б \cup С| = 18 + 14 - 10 = 32 - 10 = 22$

Таким образом, 22 учащихся в классе имеют либо брата, либо сестру, либо и брата, и сестру.

Теперь, чтобы ответить на вопрос, есть ли в классе учащиеся, у которых нет ни сестры, ни брата, нужно из общего числа учащихся вычесть число тех, у кого есть хотя бы один из этих родственников.

Количество учащихся без братьев и сестер = $|U| - |Б \cup С|$

$30 - 22 = 8$

Поскольку результат (8) — это положительное число, это означает, что в классе есть учащиеся, у которых нет ни сестры, ни брата.

Ответ: Да, в этом классе есть учащиеся, у которых нет ни сестры, ни брата. Их 8 человек.

5. В декабре было 10 ясных и безветренных дней, 15 дней был ветер и 12 дней шёл снег. Сколько дней в декабре была вьюга (снег и ветер)?

Для решения задачи сначала определим общее количество дней в декабре. В декабре 31 день.

Из условия известно, что 10 дней были ясными и безветренными. Это означает, что в эти 10 дней не было ни ветра, ни снега.

Найдем количество дней, в которые была какая-либо из этих погодных активностей (ветер, снег или и то, и другое). Для этого вычтем из общего числа дней в декабре количество ясных и безветренных дней:

$31 - 10 = 21$ день.

Итак, 21 день в декабре был либо ветер, либо снег, либо и ветер и снег одновременно. Пусть $В$ — это количество дней с ветром, а $С$ — количество дней со снегом. По условию, $В = 15$ дней, $С = 12$ дней. Количество дней, когда был ветер или снег, можно найти по формуле включений-исключений:

$N(\text{ветер или снег}) = N(\text{ветер}) + N(\text{снег}) - N(\text{ветер и снег})$

Мы ищем количество дней, когда была вьюга, то есть когда был и снег, и ветер одновременно — $N(\text{ветер и снег})$. Подставим известные значения в формулу:

$21 = 15 + 12 - N(\text{ветер и снег})$

Выполним сложение:

$21 = 27 - N(\text{ветер и снег})$

Теперь найдем неизвестное, выразив $N(\text{ветер и снег})$:

$N(\text{ветер и снег}) = 27 - 21$

$N(\text{ветер и снег}) = 6$

Таким образом, в декабре было 6 дней с вьюгой.

Ответ: 6.

6. Автобусные билеты имеют номера от 000 000 до 999 999. Билет называют «счастливым», если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что:

1) количество всех «счастливых» билетов чётно;

2) сумма номеров всех «счастливых» билетов кратна 999;

3) количество всех «счастливых» билетов равно количеству билетов, сумма цифр которых равна 27.

Пусть номер автобусного билета имеет вид $a_1a_2a_3b_1b_2b_3$, где $a_i$ и $b_i$ — это цифры. Билет является «счастливым», если выполняется условие: $a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3$.

1) количество всех «счастливых» билетов чётно;

Рассмотрим «счастливый» билет с номером $N = a_1a_2a_3b_1b_2b_3$. Для него выполняется равенство $a_1+a_2+a_3 = b_1+b_2+b_3$.

Теперь рассмотрим билет с номером $N' = (9-a_1)(9-a_2)(9-a_3)(9-b_1)(9-b_2)(9-b_3)$. Проверим, является ли он «счастливым».

Сумма первых трёх цифр номера $N'$: $(9-a_1) + (9-a_2) + (9-a_3) = 27 - (a_1+a_2+a_3)$.

Сумма последних трёх цифр номера $N'$: $(9-b_1) + (9-b_2) + (9-b_3) = 27 - (b_1+b_2+b_3)$.

Поскольку для билета $N$ было верно $a_1+a_2+a_3 = b_1+b_2+b_3$, то и $27 - (a_1+a_2+a_3) = 27 - (b_1+b_2+b_3)$. Следовательно, билет $N'$ тоже «счастливый».

Таким образом, каждому «счастливому» билету $N$ соответствует «счастливый» билет $N'$.

Заметим, что $N \ne N'$. Если бы $N=N'$, то для каждой цифры выполнялось бы равенство $a_i = 9-a_i$, что означало бы $2a_i=9$, или $a_i=4.5$. Но цифры могут быть только целыми числами. Значит, никакой «счастливый» билет не может быть равен своему «парному» билету.

Все «счастливые» билеты можно разбить на пары $(N, N')$. Поскольку все билеты разбиваются на пары без остатка, их общее количество должно быть чётным.

Ответ: Утверждение доказано.

2) сумма номеров всех «счастливых» билетов кратна 999;

Воспользуемся тем же разбиением на пары $(N, N')$, что и в предыдущем пункте. Найдём сумму номеров в каждой паре.

Номер $N$ можно представить как числовое значение $a_1a_2a_3b_1b_2b_3$.

Номер $N'$ можно представить как числовое значение $(9-a_1)(9-a_2)(9-a_3)(9-b_1)(9-b_2)(9-b_3)$.

Сумма этих двух номеров $N + N'$ равна $999999$. Это легко увидеть, если сложить их столбиком: в каждом разряде сумма цифр равна 9 ($a_i + (9-a_i) = 9$), поэтому переноса разрядов не происходит. $N + N' = 999999$.

Число $999999$ можно представить как $999 \times 1001$. Очевидно, что $999999$ делится на $999$ без остатка.

Общая сумма номеров всех «счастливых» билетов — это сумма всех таких пар. Если количество пар равно $k$, то общая сумма $S$ равна:

$S = k \times 999999 = k \times (999 \times 1001)$.

Эта сумма, очевидно, кратна $999$.

Ответ: Утверждение доказано.

3) количество всех «счастливых» билетов равно количеству билетов, сумма цифр которых равна 27.

Чтобы доказать это, установим взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между множеством «счастливых» билетов и множеством билетов, сумма цифр которых равна 27.

Пусть $L$ — множество «счастливых» билетов, а $D_{27}$ — множество билетов, сумма цифр которых равна 27.

Возьмём произвольный «счастливый» билет $N = a_1a_2a_3b_1b_2b_3 \in L$. Для него $a_1+a_2+a_3 = b_1+b_2+b_3$.

Сопоставим ему билет $M = c_1c_2c_3d_1d_2d_3$ по следующему правилу:

$c_1=a_1, c_2=a_2, c_3=a_3$

$d_1=9-b_1, d_2=9-b_2, d_3=9-b_3$

Таким образом, билет $M$ имеет номер $a_1a_2a_3(9-b_1)(9-b_2)(9-b_3)$.

Найдём сумму цифр билета $M$:

$S(M) = (a_1+a_2+a_3) + ((9-b_1)+(9-b_2)+(9-b_3)) = (a_1+a_2+a_3) + 27 - (b_1+b_2+b_3)$.

Поскольку билет $N$ «счастливый», $a_1+a_2+a_3 = b_1+b_2+b_3$. Подставим это в формулу:

$S(M) = (a_1+a_2+a_3) + 27 - (a_1+a_2+a_3) = 27$.

Значит, построенный билет $M$ принадлежит множеству $D_{27}$. Мы получили отображение из $L$ в $D_{27}$.

Теперь покажем, что это отображение является биекцией. Для этого построим обратное отображение.

Возьмём произвольный билет $M = c_1c_2c_3d_1d_2d_3 \in D_{27}$. Для него $c_1+c_2+c_3+d_1+d_2+d_3=27$.

Сопоставим ему билет $N = a_1a_2a_3b_1b_2b_3$ по правилу:

$a_1=c_1, a_2=c_2, a_3=c_3$

$b_1=9-d_1, b_2=9-d_2, b_3=9-d_3$

Проверим, является ли полученный билет $N$ «счастливым». Для этого сравним суммы его первых и последних трёх цифр:

Сумма первых трёх: $a_1+a_2+a_3 = c_1+c_2+c_3$.

Сумма последних трёх: $b_1+b_2+b_3 = (9-d_1)+(9-d_2)+(9-d_3) = 27 - (d_1+d_2+d_3)$.

Из условия для билета $M$ ($c_1+c_2+c_3+d_1+d_2+d_3=27$) следует, что $c_1+c_2+c_3 = 27 - (d_1+d_2+d_3)$.

Таким образом, $a_1+a_2+a_3 = b_1+b_2+b_3$, и билет $N$ является «счастливым», т.е. $N \in L$.

Мы построили два взаимно обратных отображения между множествами $L$ и $D_{27}$. Это означает, что между ними существует биекция, и, следовательно, количество элементов в этих множествах одинаково.

Ответ: Утверждение доказано.

7. Найдите нули функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 1};$

2) $y = \frac{x^2 + x - 6}{x + 3};$

3) $y = x^3 - 4x;$

4) $y = x^2 + 1.$

1) Чтобы найти нули функции $y = \sqrt{x^2 - 1}$, нужно приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Приравниваем функцию к нулю:

$\sqrt{x^2 - 1} = 0$

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x^2 - 1})^2 = 0^2$

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим, входят ли эти значения в ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 1 \ge 0$

$x^2 \ge 1$

Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Оба найденных корня ($1$ и $-1$) принадлежат области допустимых значений, следовательно, они являются нулями функции.

Ответ: $-1; 1$.

2) Для нахождения нулей функции $y = \frac{x^2 + x - 6}{x + 3}$ необходимо приравнять её к нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} x^2 + x - 6 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$.

Теперь проверим второе условие: $x + 3 \neq 0$, что означает $x \neq -3$.

Корень $x_1 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он не является нулём функции (в этой точке функция не определена).

Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 + 3 = 5 \neq 0$.

Таким образом, у функции есть только один нуль.

Ответ: $2$.

3) Найдём нули функции $y = x^3 - 4x$. Для этого приравняем функцию к нулю:

$x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $x = 0$

2. $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_2 = 2$ и $x_3 = -2$.

Область определения данной функции — все действительные числа, поэтому все три найденных значения являются нулями функции.

Ответ: $-2; 0; 2$.

4) Чтобы найти нули функции $y = x^2 + 1$, приравняем её к нулю:

$x^2 + 1 = 0$

Перенесём 1 в правую часть уравнения:

$x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$). Поэтому данное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс, и у функции нет нулей.

Ответ: нулей нет.