Страница 410 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

61. Докажите тождество:

1) $\sin (\pi + x) \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos (2\pi + x) \sin \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -1;$

2) $\sqrt{\sin^{-2}\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) + \cos^{-2}\left(\alpha + \frac{5\pi}{2}\right)} = \frac{1}{|\sin \alpha \cos \alpha|}.$

1) Докажем тождество $sin(\pi + x) cos(\frac{\pi}{2} - x) + cos(2\pi + x) sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -1$.

Для этого упростим левую часть выражения, используя формулы приведения.

По формулам приведения имеем:
$sin(\pi + x) = -sin(x)$ (угол находится в III четверти, где синус отрицателен, а так как к аргументу прибавляется $\pi$, название функции не меняется).
$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$ (угол находится в I четверти, где косинус положителен, а так как в аргументе есть $\frac{\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию).
$cos(2\pi + x) = cos(x)$ (в силу периодичности функции косинуса с периодом $2\pi$).
$sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -cos(x)$ (угол находится в IV четверти, где синус отрицателен, а так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию).

Подставим преобразованные выражения в левую часть исходного равенства:

$(-sin(x)) \cdot sin(x) + cos(x) \cdot (-cos(x)) = -sin^2(x) - cos^2(x)$

Вынесем знак минус за скобки:

$-(sin^2(x) + cos^2(x))$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Подставим это значение в наше выражение:

$-(1) = -1$

Мы получили, что левая часть тождества равна $-1$, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $\sqrt{sin^{-2}(\alpha - \frac{3\pi}{2}) + cos^{-2}(\alpha + \frac{5\pi}{2})} = \frac{1}{|sin \alpha cos \alpha|}$.

Преобразуем левую часть тождества. Перепишем степени с отрицательным показателем в виде дробей:

$\sqrt{\frac{1}{sin^2(\alpha - \frac{3\pi}{2})} + \frac{1}{cos^2(\alpha + \frac{5\pi}{2})}}$

Упростим выражения в знаменателях с помощью формул приведения и периодичности тригонометрических функций.

Рассмотрим $sin(\alpha - \frac{3\pi}{2})$. Используя нечетность синуса и формулу приведения, получаем: $sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -(-cos(\alpha)) = cos(\alpha)$.
Следовательно, $sin^2(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = cos^2(\alpha)$.

Рассмотрим $cos(\alpha + \frac{5\pi}{2})$. Учитывая периодичность косинуса, имеем: $cos(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = cos(\alpha + 2\pi + \frac{\pi}{2}) = cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -sin(\alpha)$.
Следовательно, $cos^2(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = (-sin(\alpha))^2 = sin^2(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения обратно под корень:

$\sqrt{\frac{1}{cos^2(\alpha)} + \frac{1}{sin^2(\alpha)}}$

Приведем дроби под корнем к общему знаменателю $sin^2(\alpha)cos^2(\alpha)$:

$\sqrt{\frac{sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)cos^2(\alpha)}}$

Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$ в числителе:

$\sqrt{\frac{1}{sin^2(\alpha)cos^2(\alpha)}}$

Извлечем квадратный корень. Так как $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{sin^2(\alpha)cos^2(\alpha)}} = \frac{1}{\sqrt{(sin(\alpha)cos(\alpha))^2}} = \frac{1}{|sin(\alpha)cos(\alpha)|}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

62. Упростите выражение:

1) $(\sin \frac{\alpha}{4} + \cos \frac{\alpha}{4})(\sin \frac{\alpha}{4} - \cos \frac{\alpha}{4})$

2) $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha + 2\sin^2\alpha}$

Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Применим формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

В нашем случае $a = \sin\frac{\alpha}{4}$ и $b = \cos\frac{\alpha}{4}$.

$(\sin\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{4})(\sin\frac{\alpha}{4} - \cos\frac{\alpha}{4}) = (\sin\frac{\alpha}{4})^2 - (\cos\frac{\alpha}{4})^2 = \sin^2\frac{\alpha}{4} - \cos^2\frac{\alpha}{4}$.

Вынесем знак минус за скобки, чтобы привести выражение к формуле косинуса двойного угла:

$\sin^2\frac{\alpha}{4} - \cos^2\frac{\alpha}{4} = -(\cos^2\frac{\alpha}{4} - \sin^2\frac{\alpha}{4})$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$. В данном случае $x = \frac{\alpha}{4}$, следовательно $2x = 2 \cdot \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, получаем:

$-(\cos^2\frac{\alpha}{4} - \sin^2\frac{\alpha}{4}) = -\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = -\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $-\cos(\frac{\alpha}{2})$

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - \sin2\alpha$.

Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Тогда $\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + \sin2\alpha$.

Подставим это обратно в выражение числителя:

$(1 + \sin2\alpha) - \sin2\alpha = 1$.

Знаменатель: $\cos2\alpha + 2\sin^2\alpha$.

Используем одну из формул косинуса двойного угла: $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Подставим ее в знаменатель:

$(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) + 2\sin^2\alpha = \cos^2\alpha + (-\sin^2\alpha + 2\sin^2\alpha) = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha$.

Снова применяем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$. Знаменатель равен 1.

Итоговое выражение:

Подставляем упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{1}{1} = 1$.

Ответ: 1

63. Докажите тождество:

1) $ \cos 3\alpha - \cos 4\alpha - \cos 5\alpha + \cos 6\alpha = -4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \alpha \cos \frac{9\alpha}{2} $

2) $ \frac{2(\sin 2\alpha + 2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos \alpha - \sin \alpha - \cos 3\alpha + \sin 3\alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} $

3) $ (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} $

4) $ \sin \alpha + \sin \beta + \sin (\alpha - \beta) = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $

5) $ \frac{\sin 2\alpha \cos 4\alpha (1 + \cos 2\alpha)}{(\sin 3\alpha + \sin \alpha)(\cos 3\alpha + \cos 5\alpha)} = \frac{1}{2} $

6) $ \sin^2 \left(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha\right) - \cos^2 \left(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha\right) = -\frac{\cos 4\alpha}{\sqrt{2}} $

1) Докажите тождество $ \cos 3\alpha - \cos 4\alpha - \cos 5\alpha + \cos 6\alpha = -4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \alpha \cos \frac{9\alpha}{2} $.

Сгруппируем слагаемые в левой части тождества: $ (\cos 6\alpha + \cos 3\alpha) - (\cos 4\alpha + \cos 5\alpha) $.

Применим формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $ к каждой скобке.

$ \cos 6\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{6\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{6\alpha-3\alpha}{2} = 2 \cos \frac{9\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2} $.

$ \cos 4\alpha + \cos 5\alpha = 2 \cos \frac{4\alpha+5\alpha}{2} \cos \frac{4\alpha-5\alpha}{2} = 2 \cos \frac{9\alpha}{2} \cos(-\frac{\alpha}{2}) = 2 \cos \frac{9\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $.

Подставим полученные выражения обратно в левую часть:

$ 2 \cos \frac{9\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2} - 2 \cos \frac{9\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $.

Вынесем общий множитель $ 2 \cos \frac{9\alpha}{2} $ за скобки:

$ 2 \cos \frac{9\alpha}{2} (\cos \frac{3\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}) $.

Теперь применим формулу разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} $ к выражению в скобках:

$ \cos \frac{3\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} = -2 \sin \frac{\frac{3\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2} \sin \frac{\frac{3\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2} = -2 \sin \frac{2\alpha}{2} \sin \frac{\alpha}{2} = -2 \sin \alpha \sin \frac{\alpha}{2} $.

Подставим это обратно и получим:

$ 2 \cos \frac{9\alpha}{2} \cdot (-2 \sin \alpha \sin \frac{\alpha}{2}) = -4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \alpha \cos \frac{9\alpha}{2} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажите тождество $ \frac{2(\sin 2\alpha + 2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos \alpha - \sin \alpha - \cos 3\alpha + \sin 3\alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} $.

Преобразуем числитель дроби, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $:

$ 2(\sin 2\alpha + (2\cos^2 \alpha - 1)) = 2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha) $.

Теперь преобразуем знаменатель, сгруппировав слагаемые:

$ (\sin 3\alpha - \sin \alpha) - (\cos 3\alpha - \cos \alpha) $.

Применим формулы разности синусов $ \sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} $ и разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} $:

$ \sin 3\alpha - \sin \alpha = 2 \cos \frac{3\alpha+\alpha}{2} \sin \frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \sin \alpha $.

$ \cos 3\alpha - \cos \alpha = -2 \sin \frac{3\alpha+\alpha}{2} \sin \frac{3\alpha-\alpha}{2} = -2 \sin 2\alpha \sin \alpha $.

Знаменатель принимает вид:

$ 2 \cos 2\alpha \sin \alpha - (-2 \sin 2\alpha \sin \alpha) = 2 \cos 2\alpha \sin \alpha + 2 \sin 2\alpha \sin \alpha = 2 \sin \alpha (\cos 2\alpha + \sin 2\alpha) $.

Теперь запишем всю дробь:

$ \frac{2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)}{2 \sin \alpha (\cos 2\alpha + \sin 2\alpha)} $.

Сокращаем общий множитель $ 2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha) $ в числителе и знаменателе, при условии что он не равен нулю:

$ \frac{1}{\sin \alpha} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажите тождество $ (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 = 4\sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} $.

Раскроем квадраты в левой части тождества:

$ (\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta) + (\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta) $.

Сгруппируем слагаемые:

$ (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получим:

$ 1 + 1 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) $.

Применим формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $:

$ 2 - 2 \cos(\alpha - \beta) = 2(1 - \cos(\alpha - \beta)) $.

Используем формулу понижения степени (или половинного угла) $ 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} $:

$ 2 \cdot (2 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажите тождество $ \sin \alpha + \sin \beta + \sin(\alpha - \beta) = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.

Сначала применим формулу суммы синусов к первым двум слагаемым $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Затем используем формулу синуса двойного угла $ \sin x = 2 \sin(x/2) \cos(x/2) $ для третьего слагаемого $ \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Левая часть примет вид:

$ 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Вынесем общий множитель $ 2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $ за скобки:

$ 2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} [\sin \frac{\alpha+\beta}{2} + \sin \frac{\alpha-\beta}{2}] $.

К выражению в квадратных скобках применим формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $, где $ x = \frac{\alpha+\beta}{2} $ и $ y = \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{\frac{\alpha+\beta}{2} + \frac{\alpha-\beta}{2}}{2} = \frac{\alpha}{2} $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{\frac{\alpha+\beta}{2} - \frac{\alpha-\beta}{2}}{2} = \frac{\beta}{2} $.

Таким образом, $ \sin \frac{\alpha+\beta}{2} + \sin \frac{\alpha-\beta}{2} = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} $.

Подставим это обратно в наше выражение:

$ 2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \cdot [2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}] = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5) Докажите тождество $ \frac{\sin 2\alpha \cos 4\alpha (1 + \cos 2\alpha)}{(\sin 3\alpha + \sin \alpha)(\cos 3\alpha + \cos 5\alpha)} = \frac{1}{2} $.

Преобразуем числитель, используя формулу $ 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha $:

Числитель: $ \sin 2\alpha \cos 4\alpha \cdot (2 \cos^2 \alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2 \alpha $.

Теперь преобразуем знаменатель, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов.

Для первой скобки $ \sin 3\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha $.

Для второй скобки $ \cos 3\alpha + \cos 5\alpha = \cos 5\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{5\alpha+3\alpha}{2} \cos \frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos \alpha $.

Знаменатель: $ (2 \sin 2\alpha \cos \alpha) \cdot (2 \cos 4\alpha \cos \alpha) = 4 \sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2 \alpha $.

Запишем всю дробь с преобразованными числителем и знаменателем:

$ \frac{2 \sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2 \alpha}{4 \sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2 \alpha} $.

Сократим общие множители $ \sin 2\alpha $, $ \cos 4\alpha $ и $ \cos^2 \alpha $ (при условии, что они не равны нулю):

$ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6) Докажите тождество $ \sin^2(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha) - \cos^2(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha) = -\frac{\cos 4\alpha}{\sqrt{2}} $.

Применим формулы понижения степени $ \sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2} $ и $ \cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} $ к левой части выражения.

Левая часть = $ \frac{1 - \cos(2(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha))}{2} - \frac{1 + \cos(2(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha))}{2} $.

$ = \frac{1 - \cos(\frac{15\pi}{4} - 4\alpha)}{2} - \frac{1 + \cos(\frac{17\pi}{4} - 4\alpha)}{2} $.

Приведем к общему знаменателю:

$ = \frac{1 - \cos(\frac{15\pi}{4} - 4\alpha) - 1 - \cos(\frac{17\pi}{4} - 4\alpha)}{2} $.

$ = -\frac{\cos(\frac{15\pi}{4} - 4\alpha) + \cos(\frac{17\pi}{4} - 4\alpha)}{2} $.

Упростим аргументы косинусов, используя периодичность функции косинуса:

$ \frac{15\pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} $, следовательно, $ \cos(\frac{15\pi}{4} - 4\alpha) = \cos(4\pi - \frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \cos(-\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \cos(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $.

$ \frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4} $, следовательно, $ \cos(\frac{17\pi}{4} - 4\alpha) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) $.

Подставим упрощенные аргументы обратно в выражение:

$ = -\frac{\cos(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{2} $.

Применим формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} $ к выражению в скобках:

$ \cos(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = 2 \cos(\frac{(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) + (\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{2}) \cos(\frac{(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) - (\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{2}) $.

$ = 2 \cos(\frac{2\pi/4}{2}) \cos(\frac{8\alpha}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{4}) \cos(4\alpha) $.

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то сумма косинусов равна $ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(4\alpha) = \sqrt{2} \cos(4\alpha) $.

Подставим это значение в наше основное выражение:

$ = -\frac{\sqrt{2} \cos(4\alpha)}{2} = -\frac{\cos 4\alpha}{\sqrt{2}} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

64. Вычислите:

1) $\cos\left(\arcsin \frac{3}{5} - \arccos \frac{5}{13}\right);$

2) $\sin\left(\arccos \frac{1}{3} + \arccos \frac{2}{3}\right);$

3) $\cos(\operatorname{arctg} 2);$

4) $\sin(\operatorname{arctg} (-2)).$

1) Обозначим $α = \operatorname{arcsin}\frac{3}{5}$ и $β = \operatorname{arccos}\frac{5}{13}$. Тогда $sin(α) = \frac{3}{5}$ и $cos(β) = \frac{5}{13}$. Требуется найти $cos(α - β)$. Воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)$.
Найдем $cos(α)$ и $sin(β)$ из основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Поскольку аргументы арксинуса и арккосинуса положительны, углы $α$ и $β$ лежат в первой четверти (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$), поэтому их синусы и косинусы положительны.
$cos(α) = \sqrt{1 - sin^2(α)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
$sin(β) = \sqrt{1 - cos^2(β)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
Подставим найденные значения в формулу:
$cos(α - β) = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{56}{65}$.
Ответ: $\frac{56}{65}$.

2) Обозначим $α = \operatorname{arccos}\frac{1}{3}$ и $β = \operatorname{arccos}\frac{2}{3}$. Тогда $cos(α) = \frac{1}{3}$ и $cos(β) = \frac{2}{3}$. Требуется найти $sin(α + β)$. Воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)$.
Найдем $sin(α)$ и $sin(β)$. Поскольку аргументы арккосинусов положительны, углы $α$ и $β$ лежат в первой четверти, и их синусы положительны.
$sin(α) = \sqrt{1 - cos^2(α)} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$sin(β) = \sqrt{1 - cos^2(β)} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Подставим найденные значения в формулу:
$sin(α + β) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9} + \frac{\sqrt{5}}{9} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$.
Ответ: $\frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$.

3) Пусть $α = \operatorname{arctg}2$. Это означает, что $tan(α) = 2$. Так как $2 > 0$, угол $α$ находится в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$, и его косинус положителен. Для нахождения $cos(α)$ воспользуемся тождеством $1 + tan^2(α) = \frac{1}{cos^2(α)}$.
$1 + 2^2 = \frac{1}{cos^2(α)} \implies 5 = \frac{1}{cos^2(α)} \implies cos^2(α) = \frac{1}{5}$.
Поскольку $cos(α) > 0$, получаем $cos(α) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

4) Пусть $α = \operatorname{arcctg}(-2)$. Это означает, что $cot(α) = -2$. По определению арккотангенса, угол $α$ находится в интервале $(0, \pi)$. Так как $cot(α) < 0$, угол $α$ находится во второй четверти $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, и его синус положителен. Для нахождения $sin(α)$ воспользуемся тождеством $1 + cot^2(α) = \frac{1}{sin^2(α)}$.
$1 + (-2)^2 = \frac{1}{sin^2(α)} \implies 5 = \frac{1}{sin^2(α)} \implies sin^2(α) = \frac{1}{5}$.
Поскольку $sin(α) > 0$, получаем $sin(α) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

65. Вычислите:

1) $ \arccos \left( \cos \frac{2\pi}{9} \right); $

2) $ \arcsin \left( \cos \frac{\pi}{8} \right). $

1) Для вычисления значения выражения $arccos(cos(\frac{2\pi}{9}))$ используется основное свойство арккосинуса: $arccos(cos(x)) = x$. Это тождество справедливо только при условии, что аргумент $x$ принадлежит области значений функции арккосинус, то есть $x \in [0; \pi]$.

В данном случае $x = \frac{2\pi}{9}$. Проверим, выполняется ли условие $0 \le \frac{2\pi}{9} \le \pi$. Разделив все части неравенства на $\pi$, получим $0 \le \frac{2}{9} \le 1$, что является верным.

Поскольку угол $\frac{2\pi}{9}$ находится в указанном промежутке, мы можем применить тождество напрямую:

$arccos\left(cos\frac{2\pi}{9}\right) = \frac{2\pi}{9}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{9}$.

2) Для вычисления значения выражения $arcsin(cos(\frac{\pi}{8}))$ необходимо преобразовать косинус в синус, чтобы воспользоваться свойством обратных тригонометрических функций. Используем формулу приведения: $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Применим эту формулу:

$cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = sin\left(\frac{4\pi}{8} - \frac{\pi}{8}\right) = sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$arcsin\left(cos\frac{\pi}{8}\right) = arcsin\left(sin\frac{3\pi}{8}\right)$.

Основное свойство арксинуса $arcsin(sin(x)) = x$ справедливо только в том случае, если $x$ принадлежит области значений арксинуса, то есть $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Проверим, принадлежит ли угол $\frac{3\pi}{8}$ этому отрезку. Сравним $\frac{3\pi}{8}$ с границами отрезка: $-\frac{\pi}{2} = -\frac{4\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8}$. Неравенство $-\frac{4\pi}{8} \le \frac{3\pi}{8} \le \frac{4\pi}{8}$ является верным, следовательно, условие выполняется.

Таким образом, $arcsin\left(sin\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{3\pi}{8}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{8}$.

66. Решите уравнение $\arcsin x \cdot \arccos x = - \frac{3\pi^2}{16}$.

Исходное уравнение: $arcsin(x) \cdot arccos(x) = -\frac{3\pi^2}{16}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется из области определения функций $arcsin(x)$ и $arccos(x)$, что соответствует отрезку $x \in [-1, 1]$.

Для решения этого уравнения воспользуемся основным тождеством для обратных тригонометрических функций:
$arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$.

Из этого тождества выразим $arccos(x)$:
$arccos(x) = \frac{\pi}{2} - arcsin(x)$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$arcsin(x) \cdot (\frac{\pi}{2} - arcsin(x)) = -\frac{3\pi^2}{16}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = arcsin(x)$. При этом необходимо учесть область значений функции арксинус: $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:
$y \cdot (\frac{\pi}{2} - y) = -\frac{3\pi^2}{16}$.
Раскроем скобки: $\frac{\pi}{2}y - y^2 = -\frac{3\pi^2}{16}$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ay^2+by+c=0$:
$y^2 - \frac{\pi}{2}y - \frac{3\pi^2}{16} = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-\frac{\pi}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\frac{3\pi^2}{16}) = \frac{\pi^2}{4} + \frac{12\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{3\pi^2}{4} = \frac{4\pi^2}{4} = \pi^2$.

Теперь найдем корни уравнения для $y$:
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\frac{\pi}{2} \pm \sqrt{\pi^2}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} \pm \pi}{2}$.

Получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = \frac{\frac{\pi}{2} + \pi}{2} = \frac{3\pi/2}{2} = \frac{3\pi}{4}$.
$y_2 = \frac{\frac{\pi}{2} - \pi}{2} = \frac{-\pi/2}{2} = -\frac{\pi}{4}$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ограничению $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$:
1. $y_1 = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень не удовлетворяет условию, так как $\frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2}$. Следовательно, это посторонний корень.
2. $y_2 = -\frac{\pi}{4}$. Этот корень удовлетворяет условию, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, единственным решением для $y$ является $y = -\frac{\pi}{4}$.

Выполним обратную замену:
$arcsin(x) = -\frac{\pi}{4}$.

Отсюда находим $x$:
$x = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это значение принадлежит ОДЗ $x \in [-1, 1]$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

67. Решите уравнение:

1) $\cos \frac{x}{2} + \cos x = 0;$

2) $\tan x + \cot x = -2;$

1) Исходное уравнение: $\cos\frac{x}{2} + \cos x = 0$.
Для решения используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. Применим её для $\cos x$, считая, что $x = 2 \cdot \frac{x}{2}$.
$\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\cos\frac{x}{2} + \left(2\cos^2\frac{x}{2} - 1\right) = 0$
$2\cos^2\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} - 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\cos\frac{x}{2}$. Сделаем замену $t = \cos\frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 + t - 1 = 0$
Найдём корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$
$t_1 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$
$t_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к переменной $x$.
а) $\cos\frac{x}{2} = -1$
Это частный случай, решением которого является:
$\frac{x}{2} = \pi + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\pi + 4\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$
б) $\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$
Общее решение:
$\frac{x}{2} = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
$\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi k; \quad x = 2\pi + 4\pi n, \text{ где } k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\tg x + \ctg x = -2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования тангенса и котангенса: $\cos x \ne 0$ и $\sin x \ne 0$. Это означает, что $x \ne \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.
Представим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = -2$
Приведем дроби к общему знаменателю $\sin x \cos x$:
$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = -2$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$\frac{1}{\sin x \cos x} = -2$
Отсюда следует, что $\sin x \cos x = -\frac{1}{2}$.
Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Из неё следует, что $\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}$.
Подставим это в наше уравнение:
$\frac{\sin(2x)}{2} = -\frac{1}{2}$
$\sin(2x) = -1$
Это частный случай, решением которого является:
$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
Полученные значения $x$ не являются кратными $\frac{\pi}{2}$, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.