Номер 67, страница 410 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

67. Решите уравнение:

1) $\cos \frac{x}{2} + \cos x = 0;$

2) $\tan x + \cot x = -2;$

1) Исходное уравнение: $\cos\frac{x}{2} + \cos x = 0$.
Для решения используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. Применим её для $\cos x$, считая, что $x = 2 \cdot \frac{x}{2}$.
$\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\cos\frac{x}{2} + \left(2\cos^2\frac{x}{2} - 1\right) = 0$
$2\cos^2\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} - 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\cos\frac{x}{2}$. Сделаем замену $t = \cos\frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 + t - 1 = 0$
Найдём корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$
$t_1 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$
$t_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к переменной $x$.
а) $\cos\frac{x}{2} = -1$
Это частный случай, решением которого является:
$\frac{x}{2} = \pi + 2\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\pi + 4\pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$
б) $\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$
Общее решение:
$\frac{x}{2} = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
$\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi k; \quad x = 2\pi + 4\pi n, \text{ где } k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\tg x + \ctg x = -2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования тангенса и котангенса: $\cos x \ne 0$ и $\sin x \ne 0$. Это означает, что $x \ne \frac{\pi n}{2}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$.
Представим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = -2$
Приведем дроби к общему знаменателю $\sin x \cos x$:
$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = -2$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$\frac{1}{\sin x \cos x} = -2$
Отсюда следует, что $\sin x \cos x = -\frac{1}{2}$.
Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. Из неё следует, что $\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}$.
Подставим это в наше уравнение:
$\frac{\sin(2x)}{2} = -\frac{1}{2}$
$\sin(2x) = -1$
Это частный случай, решением которого является:
$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$
Полученные значения $x$ не являются кратными $\frac{\pi}{2}$, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.