Номер 60, страница 409 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

60. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos(\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin \beta}{\cos(\alpha - \beta) - \sin \alpha \sin \beta} = 1;$

2) $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos(45^\circ + \alpha)}{2 \sin(45^\circ + \alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha} = \mathrm{tg} \alpha.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $

Подставим эти формулы в выражение в левой части тождества.

Преобразуем числитель:

$ \cos(\alpha + \beta) + \sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta $

Преобразуем знаменатель:

$ \cos(\alpha - \beta) - \sin\alpha\sin\beta = (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta $

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = 1 $

Таким образом, левая часть тождества равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами косинуса суммы и синуса суммы:

$ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $

$ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $

А также значениями синуса и косинуса для угла $ 45^\circ $: $ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Раскроем выражения $ \cos(45^\circ + \alpha) $ и $ \sin(45^\circ + \alpha) $:

$ \cos(45^\circ + \alpha) = \cos 45^\circ \cos\alpha - \sin 45^\circ \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $

$ \sin(45^\circ + \alpha) = \sin 45^\circ \cos\alpha + \cos 45^\circ \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) $

Теперь подставим полученные выражения в числитель и знаменатель исходной дроби.

Преобразуем числитель:

$ \sqrt{2}\cos\alpha - 2\cos(45^\circ + \alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha $

Преобразуем знаменатель:

$ 2\sin(45^\circ + \alpha) - \sqrt{2}\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha $

В итоге, левая часть тождества принимает вид:

$ \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\,\alpha $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.