Номер 61, страница 410 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

61. Докажите тождество:

1) $\sin (\pi + x) \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos (2\pi + x) \sin \left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -1;$

2) $\sqrt{\sin^{-2}\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) + \cos^{-2}\left(\alpha + \frac{5\pi}{2}\right)} = \frac{1}{|\sin \alpha \cos \alpha|}.$

1) Докажем тождество $sin(\pi + x) cos(\frac{\pi}{2} - x) + cos(2\pi + x) sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -1$.

Для этого упростим левую часть выражения, используя формулы приведения.

По формулам приведения имеем:
$sin(\pi + x) = -sin(x)$ (угол находится в III четверти, где синус отрицателен, а так как к аргументу прибавляется $\pi$, название функции не меняется).
$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$ (угол находится в I четверти, где косинус положителен, а так как в аргументе есть $\frac{\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию).
$cos(2\pi + x) = cos(x)$ (в силу периодичности функции косинуса с периодом $2\pi$).
$sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -cos(x)$ (угол находится в IV четверти, где синус отрицателен, а так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию).

Подставим преобразованные выражения в левую часть исходного равенства:

$(-sin(x)) \cdot sin(x) + cos(x) \cdot (-cos(x)) = -sin^2(x) - cos^2(x)$

Вынесем знак минус за скобки:

$-(sin^2(x) + cos^2(x))$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. Подставим это значение в наше выражение:

$-(1) = -1$

Мы получили, что левая часть тождества равна $-1$, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $\sqrt{sin^{-2}(\alpha - \frac{3\pi}{2}) + cos^{-2}(\alpha + \frac{5\pi}{2})} = \frac{1}{|sin \alpha cos \alpha|}$.

Преобразуем левую часть тождества. Перепишем степени с отрицательным показателем в виде дробей:

$\sqrt{\frac{1}{sin^2(\alpha - \frac{3\pi}{2})} + \frac{1}{cos^2(\alpha + \frac{5\pi}{2})}}$

Упростим выражения в знаменателях с помощью формул приведения и периодичности тригонометрических функций.

Рассмотрим $sin(\alpha - \frac{3\pi}{2})$. Используя нечетность синуса и формулу приведения, получаем: $sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -(-cos(\alpha)) = cos(\alpha)$.
Следовательно, $sin^2(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = cos^2(\alpha)$.

Рассмотрим $cos(\alpha + \frac{5\pi}{2})$. Учитывая периодичность косинуса, имеем: $cos(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = cos(\alpha + 2\pi + \frac{\pi}{2}) = cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -sin(\alpha)$.
Следовательно, $cos^2(\alpha + \frac{5\pi}{2}) = (-sin(\alpha))^2 = sin^2(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения обратно под корень:

$\sqrt{\frac{1}{cos^2(\alpha)} + \frac{1}{sin^2(\alpha)}}$

Приведем дроби под корнем к общему знаменателю $sin^2(\alpha)cos^2(\alpha)$:

$\sqrt{\frac{sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha)}{sin^2(\alpha)cos^2(\alpha)}}$

Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$ в числителе:

$\sqrt{\frac{1}{sin^2(\alpha)cos^2(\alpha)}}$

Извлечем квадратный корень. Так как $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{sin^2(\alpha)cos^2(\alpha)}} = \frac{1}{\sqrt{(sin(\alpha)cos(\alpha))^2}} = \frac{1}{|sin(\alpha)cos(\alpha)|}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.