Номер 68, страница 411 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

68. Решите уравнение:

1) $ \cos^2 5x + 7 \sin^2 5x = 4 \sin 10x; $

2) $ 3 \sin^2 x - 7 \sin x \cos x + 14 \cos^2 x - 2 = 0. $

1) $ \cos^2 5x + 7\sin^2 5x = 4\sin 10x $

Преобразуем левую и правую части уравнения. В левой части воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \cos^2 5x + 7\sin^2 5x = (\cos^2 5x + \sin^2 5x) + 6\sin^2 5x = 1 + 6\sin^2 5x $.

В правой части применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ 4\sin 10x = 4(2\sin 5x \cos 5x) = 8\sin 5x \cos 5x $.

Уравнение принимает вид:

$ 1 + 6\sin^2 5x = 8\sin 5x \cos 5x $.

Чтобы сделать уравнение однородным, заменим $ 1 $ на $ \sin^2 5x + \cos^2 5x $:

$ (\sin^2 5x + \cos^2 5x) + 6\sin^2 5x = 8\sin 5x \cos 5x $.

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$ 7\sin^2 5x - 8\sin 5x \cos 5x + \cos^2 5x = 0 $.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Так как значения $ x $, при которых $ \cos 5x = 0 $, не являются решениями уравнения (если $ \cos 5x = 0 $, то $ \sin^2 5x = 1 $, и уравнение превращается в $ 7=0 $, что неверно), мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 5x $:

$ \frac{7\sin^2 5x}{\cos^2 5x} - \frac{8\sin 5x \cos 5x}{\cos^2 5x} + \frac{\cos^2 5x}{\cos^2 5x} = 0 $

$ 7\tan^2 5x - 8\tan 5x + 1 = 0 $.

Пусть $ t = \tan 5x $, тогда получим квадратное уравнение $ 7t^2 - 8t + 1 = 0 $.

Дискриминант $ D = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36 $.

Корни уравнения: $ t_1 = \frac{8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} $ и $ t_2 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1 $.

Возвращаемся к замене:

1. $ \tan 5x = 1 \implies 5x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5} $, где $ n \in Z $.

2. $ \tan 5x = \frac{1}{7} \implies 5x = \arctan(\frac{1}{7}) + \pi k \implies x = \frac{1}{5}\arctan(\frac{1}{7}) + \frac{\pi k}{5} $, где $ k \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, x = \frac{1}{5}\arctan(\frac{1}{7}) + \frac{\pi k}{5}, n, k \in Z $.

2) $ 3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2 = 0 $

Для приведения уравнения к однородному виду, заменим число $ -2 $ на выражение $ -2 \cdot 1 = -2(\sin^2 x + \cos^2 x) $:

$ 3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 $.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 3\sin^2 x - 7\sin x \cos x + 14\cos^2 x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0 $

$ (3-2)\sin^2 x - 7\sin x \cos x + (14-2)\cos^2 x = 0 $

$ \sin^2 x - 7\sin x \cos x + 12\cos^2 x = 0 $.

Получили однородное тригонометрическое уравнение. Убедимся, что $ \cos x \neq 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставляя в уравнение, получаем $ 1 = 0 $, что неверно. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{7\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{12\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ \tan^2 x - 7\tan x + 12 = 0 $.

Пусть $ t = \tan x $, тогда получим квадратное уравнение $ t^2 - 7t + 12 = 0 $.

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, корни $ t_1 = 3 $ и $ t_2 = 4 $.

Возвращаемся к замене:

1. $ \tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi n $, где $ n \in Z $.

2. $ \tan x = 4 \implies x = \arctan(4) + \pi k $, где $ k \in Z $.

Ответ: $ x = \arctan(3) + \pi n, x = \arctan(4) + \pi k, n, k \in Z $.