Номер 75, страница 411 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

75. Решите уравнение:

1) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2;$

2) $\cos 9x = 2\sin \left(\frac{3\pi}{2} - 3x\right).$

1) $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 2$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в левой части уравнения:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2} + \frac{1 + \cos(6x)}{2} + \frac{1 + \cos(8x)}{2} = 2$

Умножим обе части уравнения на 2:

$(1 + \cos(2x)) + (1 + \cos(4x)) + (1 + \cos(6x)) + (1 + \cos(8x)) = 4$

$4 + \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) = 4$

$\cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$(\cos(8x) + \cos(2x)) + (\cos(6x) + \cos(4x)) = 0$

$2\cos\frac{8x+2x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} + 2\cos\frac{6x+4x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0$

$2\cos(5x)\cos(3x) + 2\cos(5x)\cos(x) = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos(5x)$ за скобки:

$2\cos(5x)(\cos(3x) + \cos(x)) = 0$

Снова применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:

$2\cos(5x)(2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}) = 0$

$4\cos(5x)\cos(2x)\cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность трех уравнений:

1. $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$.

2. $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.

3. $\cos(5x) = 0 \implies 5x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$, $m \in Z$.

Заметим, что первая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + \pi n$) является подмножеством третьей серии ($x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$). Это можно проверить, подставив $m = 2 + 5n$ в третью формулу: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi (2+5n)}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5} + \pi n = \frac{\pi + 4\pi}{10} + \pi n = \frac{5\pi}{10} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Таким образом, для получения полного ответа достаточно объединить вторую и третью серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$; $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$, $m \in Z$.

2) $\cos 9x = 2\sin(\frac{3\pi}{2} - 3x)$

Воспользуемся формулой приведения: $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Применив ее к правой части уравнения, получим:

$\cos 9x = 2(-\cos 3x)$

$\cos 9x + 2\cos 3x = 0$

Теперь используем формулу косинуса тройного угла: $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.

Пусть $\alpha = 3x$, тогда $9x = 3\alpha$. Уравнение примет вид:

$\cos(3 \cdot 3x) + 2\cos 3x = 0$

$(4\cos^3(3x) - 3\cos(3x)) + 2\cos(3x) = 0$

$4\cos^3(3x) - \cos(3x) = 0$

Вынесем общий множитель $\cos(3x)$ за скобки:

$\cos(3x)(4\cos^2(3x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\cos(3x) = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in Z$.

2. $4\cos^2(3x) - 1 = 0$

$\cos^2(3x) = \frac{1}{4}$

$\cos(3x) = \pm\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения можно записать в виде $3x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in Z$.

Отсюда $x = \pm\frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in Z$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in Z$; $x = \pm\frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in Z$.