Номер 72, страница 411 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

72. Решите уравнение $\cos^3 x \sin x + \cos^2 x \sin^2 x - 3\cos x \sin^3 x - 3\sin^4 x = 0.$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением четвертой степени, но его можно решить проще, с помощью метода группировки и разложения на множители.

Исходное уравнение:$cos³x sinx + cos²x sin²x - 3cosx sin³x - 3sin⁴x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

$(cos³x sinx - 3cosx sin³x) + (cos²x sin²x - 3sin⁴x) = 0$

В каждой группе вынесем общий множитель за скобки. В первой группе это $cosx sinx$, во второй — $sin²x$:

$cosx sinx(cos²x - 3sin²x) + sin²x(cos²x - 3sin²x) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(cos²x - 3sin²x)$, который также можно вынести за скобку:

$(cosx sinx + sin²x)(cos²x - 3sin²x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

1) $cosx sinx + sin²x = 0$

2) $cos²x - 3sin²x = 0$

Решим каждое уравнение.

1. Решаем уравнение $cosx sinx + sin²x = 0$

Вынесем $sinx$ за скобку:

$sinx(cosx + sinx) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

а) $sinx = 0 \quad \Rightarrow \quad x = k\pi$, где $k \in Z$.

б) $cosx + sinx = 0 \quad \Rightarrow \quad sinx = -cosx$.

Заметим, что $cosx \ne 0$, так как если $cosx = 0$, то и $sinx = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $sin²x + cos²x = 1$. Поэтому можно разделить обе части на $cosx$:

$\frac{sinx}{cosx} = -1 \quad \Rightarrow \quad tanx = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n \in Z$.

2. Решаем уравнение $cos²x - 3sin²x = 0$

$cos²x = 3sin²x$

Аналогично предыдущему случаю, $cosx \ne 0$. Разделим обе части на $cos²x$:

$1 = 3 \frac{sin²x}{cos²x} \quad \Rightarrow \quad 1 = 3tan²x \quad \Rightarrow \quad tan²x = \frac{1}{3}$

Отсюда получаем два варианта:

а) $tanx = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{6} + m\pi$, где $m \in Z$.

б) $tanx = -\sqrt{\frac{1}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{6} + p\pi$, где $p \in Z$.

Две последние серии решений можно для краткости объединить в одну запись: $x = \pm\frac{\pi}{6} + q\pi$, где $q \in Z$.

Собрав все найденные серии корней, мы получаем полный ответ на задачу.

Ответ: $k\pi; \quad -\frac{\pi}{4} + n\pi; \quad \pm\frac{\pi}{6} + m\pi$, где $k, n, m \in Z$.