Номер 71, страница 411 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

71. При каких значениях параметра a имеет корни уравнение:

1) $\sin^2 x - (3a - 3)\sin x + a(2a - 3) = 0;$

2) $\cos^2 x + 2\cos x + a^2 - 6a + 10 = 0?$

1) Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Сделаем замену $t = \sin x$. Так как область значений синуса $[-1, 1]$, исходное уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение будет иметь хотя бы один корень $t$, удовлетворяющий условию $|t| \le 1$.

После замены получаем уравнение:

$t^2 - (3a - 3)t + a(2a - 3) = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = (-(3a - 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot a(2a - 3) = (3(a-1))^2 - 4a(2a - 3) = 9(a^2 - 2a + 1) - 8a^2 + 12a = 9a^2 - 18a + 9 - 8a^2 + 12a = a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.

Поскольку $D = (a-3)^2 \ge 0$ при любых $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их:

$t = \frac{3a - 3 \pm \sqrt{(a-3)^2}}{2} = \frac{3a - 3 \pm (a-3)}{2}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{3a - 3 + (a-3)}{2} = \frac{4a - 6}{2} = 2a - 3$

$t_2 = \frac{3a - 3 - (a-3)}{2} = \frac{2a}{2} = a$

Исходное уравнение имеет корни, если хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Это означает, что должна выполняться совокупность неравенств:

$\left[ \begin{gathered} -1 \le t_1 \le 1 \\ -1 \le t_2 \le 1 \end{gathered} \right. \iff \left[ \begin{gathered} -1 \le 2a - 3 \le 1 \\ -1 \le a \le 1 \end{gathered} \right.$

Решим первое неравенство:

$-1 \le 2a - 3 \le 1$

$-1+3 \le 2a \le 1+3$

$2 \le 2a \le 4$

$1 \le a \le 2$

Решением совокупности является объединение решений двух неравенств: $a \in [-1, 1] \cup [1, 2]$.

Объединяя эти промежутки, получаем $a \in [-1, 2]$.

Ответ: $a \in [-1, 2]$.

2) Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты для выражений, содержащих $x$ и $a$.

$\cos^2 x + 2\cos x + a^2 - 6a + 10 = 0$

$(\cos^2 x + 2\cos x + 1) - 1 + (a^2 - 6a + 9) + 1 = 0$

$(\cos x + 1)^2 + (a - 3)^2 = 0$

В левой части уравнения стоит сумма двух квадратов. Каждый из квадратов является неотрицательным числом: $(\cos x + 1)^2 \ge 0$ и $(a - 3)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} (\cos x + 1)^2 = 0 \\ (a-3)^2 = 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} \cos x + 1 = 0 \\ a - 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \cos x = -1 \\ a = 3 \end{cases}$

Уравнение $\cos x = -1$ имеет корни (например, $x = \pi + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$). Это означает, что при $a=3$ исходное уравнение имеет корни. Если $a \ne 3$, то второе уравнение системы не выполняется, и, следовательно, исходное уравнение корней не имеет.

Таким образом, уравнение имеет корни только при одном значении параметра $a$.

Ответ: $a=3$.