Номер 77, страница 411 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

77. Решите уравнение $(x+y)^2 + 10(x+y)\cos(\pi xy) + 25 = 0.$

Данное уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной $z = x+y$.

$z^2 + (10\cos(\pi xy))z + 25 = 0$

Для того чтобы это уравнение имело действительные решения для $z$, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (10\cos(\pi xy))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100\cos^2(\pi xy) - 100 = 100(\cos^2(\pi xy) - 1)$.

Условие $D \ge 0$ означает, что $100(\cos^2(\pi xy) - 1) \ge 0$, что эквивалентно $\cos^2(\pi xy) - 1 \ge 0$, или $\cos^2(\pi xy) \ge 1$.

Мы знаем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, следовательно, область значений функции $\cos^2(\alpha)$ есть отрезок $[0, 1]$. Таким образом, неравенство $\cos^2(\pi xy) \ge 1$ может выполняться только в одном случае, когда $\cos^2(\pi xy) = 1$.

При $\cos^2(\pi xy) = 1$ дискриминант $D = 100(1-1) = 0$.

Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет единственный корень, который находится по формуле $z = -b/(2a)$.

$z = \frac{-10\cos(\pi xy)}{2} = -5\cos(\pi xy)$

Поскольку мы сделали замену $z=x+y$, получаем уравнение:

$x+y = -5\cos(\pi xy)$

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе из двух условий:

$\begin{cases} \cos^2(\pi xy) = 1 \\ x+y = -5\cos(\pi xy) \end{cases}$

Условие $\cos^2(\pi xy) = 1$ распадается на два случая: $\cos(\pi xy) = 1$ и $\cos(\pi xy) = -1$. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: $\cos(\pi xy) = 1$

Если $\cos(\pi xy) = 1$, то аргумент косинуса является четным кратным $\pi$:

$\pi xy = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целое число).

Отсюда получаем $xy = 2k$.

Подставляем значение $\cos(\pi xy) = 1$ во второе уравнение системы:

$x+y = -5(1) = -5$.

Таким образом, мы получили систему уравнений для $x$ и $y$:

$\begin{cases} x+y = -5 \\ xy = 2k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases}$

По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 + 5t + 2k = 0$.

Это уравнение имеет действительные корни только тогда, когда его дискриминант $\Delta_1$ неотрицателен.

$\Delta_1 = 5^2 - 4(1)(2k) = 25 - 8k \ge 0$.

$25 \ge 8k \implies k \le \frac{25}{8} = 3.125$.

Поскольку $k$ — целое число, то $k \le 3$.

Корни уравнения для $t$ равны $t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8k}}{2}$.

Следовательно, решениями в этом случае являются все пары чисел $(x, y)$ вида:

$\left(\frac{-5 + \sqrt{25 - 8k}}{2}, \frac{-5 - \sqrt{25 - 8k}}{2}\right)$ и $\left(\frac{-5 - \sqrt{25 - 8k}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{25 - 8k}}{2}\right)$ для любого целого $k \le 3$.

Случай 2: $\cos(\pi xy) = -1$

Если $\cos(\pi xy) = -1$, то аргумент косинуса является нечетным кратным $\pi$:

$\pi xy = (2k+1)\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда получаем $xy = 2k+1$.

Подставляем значение $\cos(\pi xy) = -1$ во второе уравнение системы:

$x+y = -5(-1) = 5$.

Таким образом, мы получили систему уравнений для $x$ и $y$:

$\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 2k+1, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases}$

По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 5t + (2k+1) = 0$.

Это уравнение имеет действительные корни только тогда, когда его дискриминант $\Delta_2$ неотрицателен.

$\Delta_2 = (-5)^2 - 4(1)(2k+1) = 25 - 8k - 4 = 21 - 8k \ge 0$.

$21 \ge 8k \implies k \le \frac{21}{8} = 2.625$.

Поскольку $k$ — целое число, то $k \le 2$.

Корни уравнения для $t$ равны $t = \frac{5 \pm \sqrt{21 - 8k}}{2}$.

Следовательно, решениями в этом случае являются все пары чисел $(x, y)$ вида:

$\left(\frac{5 + \sqrt{21 - 8k}}{2}, \frac{5 - \sqrt{21 - 8k}}{2}\right)$ и $\left(\frac{5 - \sqrt{21 - 8k}}{2}, \frac{5 + \sqrt{21 - 8k}}{2}\right)$ для любого целого $k \le 2$.

Ответ: Решениями уравнения являются две совокупности пар чисел $(x, y)$:

1) Пары $\left(\frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8k}}{2}, \frac{-5 \mp \sqrt{25 - 8k}}{2}\right)$ для любого целого числа $k \le 3$.

2) Пары $\left(\frac{5 \pm \sqrt{21 - 8k}}{2}, \frac{5 \mp \sqrt{21 - 8k}}{2}\right)$ для любого целого числа $k \le 2$.