Номер 80, страница 412 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

80. Решите уравнение:

1) $\frac{\sin x - \cos x}{4x - \pi} = 0;$

2) $\frac{\cos 2x - 2\cos x + 1}{12x^2 - 8\pi x + \pi^2} = 0;$

3) $\frac{3\sin^2 2\pi x + 7\cos 2\pi x - 3}{4x^2 - 7x + 3} = 0.$

1) $\frac{\sin x - \cos x}{4x - \pi} = 0;$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} \sin x - \cos x = 0, \\ 4x - \pi \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$\sin x - \cos x = 0$

$\sin x = \cos x$

Разделим обе части уравнения на $\cos x$. Это возможно, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x$ должен быть равен $\pm 1$, и равенство $\sin x = \cos x$ не выполняется. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\tan x = 1$

Корни этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь учтем условие, что знаменатель не равен нулю:

$4x - \pi \neq 0$

$4x \neq \pi$

$x \neq \frac{\pi}{4}$

Сравним найденные корни с этим ограничением. Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ в общую формулу корней:

$\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n$

$0 = \pi n$

$n = 0$

Таким образом, мы должны исключить корень, соответствующий $n = 0$.

Следовательно, решение уравнения - это $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ - любое целое число, кроме нуля.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 0$.

2) $\frac{\cos 2x - 2\cos x + 1}{12x^2 - 8\pi x + \pi^2} = 0;$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos 2x - 2\cos x + 1 = 0, \\ 12x^2 - 8\pi x + \pi^2 \neq 0. \end{cases}$

Решим числитель. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$(2\cos^2 x - 1) - 2\cos x + 1 = 0$

$2\cos^2 x - 2\cos x = 0$

$2\cos x (\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$12x^2 - 8\pi x + \pi^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем дискриминант:

$D = (-8\pi)^2 - 4 \cdot 12 \cdot \pi^2 = 64\pi^2 - 48\pi^2 = 16\pi^2 = (4\pi)^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{8\pi - 4\pi}{2 \cdot 12} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$

$x_2 = \frac{8\pi + 4\pi}{2 \cdot 12} = \frac{12\pi}{24} = \frac{\pi}{2}$

Значит, область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq \frac{\pi}{6}$ и $x \neq \frac{\pi}{2}$.

Проверим наши серии корней на соответствие ОДЗ:

1. Для серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень не входит в ОДЗ, его нужно исключить. При других целых $n$ корни не совпадают с $\frac{\pi}{6}$ или $\frac{\pi}{2}$.

2. Для серии $x = 2\pi k$:
Эти корни не совпадают ни с $\frac{\pi}{6}$, ни с $\frac{\pi}{2}$ ни при каком целом $k$. Эта серия корней полностью подходит.

Итак, итоговое решение: серия $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ за исключением случая $n=0$, и вся серия $x = 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$; $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\frac{3\sin^2 2\pi x + 7\cos 2\pi x - 3}{4x^2 - 7x + 3} = 0.$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3\sin^2 2\pi x + 7\cos 2\pi x - 3 = 0, \\ 4x^2 - 7x + 3 \neq 0. \end{cases}$

Решим уравнение из числителя. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$, где $\alpha = 2\pi x$:

$3(1 - \cos^2 2\pi x) + 7\cos 2\pi x - 3 = 0$

$3 - 3\cos^2 2\pi x + 7\cos 2\pi x - 3 = 0$

$-3\cos^2 2\pi x + 7\cos 2\pi x = 0$

$\cos 2\pi x (7 - 3\cos 2\pi x) = 0$

Получаем два случая:

1. $\cos 2\pi x = 0$
$2\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{1}{4} + \frac{n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$

2. $7 - 3\cos 2\pi x = 0 \Rightarrow \cos 2\pi x = \frac{7}{3}$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\cos \alpha| \le 1$.

Теперь найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$4x^2 - 7x + 3 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{7 - 1}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Значит, ОДЗ: $x \neq \frac{3}{4}$ и $x \neq 1$.

Проверим, какие значения $n$ в серии $x = \frac{1}{4} + \frac{n}{2}$ нужно исключить:

1. $x = \frac{3}{4}$
$\frac{1}{4} + \frac{n}{2} = \frac{3}{4}$
$\frac{n}{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$n=1$. Этот корень нужно исключить.

2. $x = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{n}{2} = 1$
$\frac{n}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$n = \frac{3}{2}$. Так как $n$ должно быть целым, то $x$ никогда не будет равен 1.

Таким образом, из серии решений нужно исключить корень, соответствующий $n=1$.

Ответ: $x = \frac{1}{4} + \frac{n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 1$.