Номер 86, страница 412 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

86. Решите неравенство:

1) $\sin 2x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\operatorname{tg}\left(-\frac{x}{4}\right) < \sqrt{3}$;

3) $\operatorname{ctg} 5x > 1$;

4) $\cos (-3x) > \frac{1}{3}$.

1) $\sin 2x > \frac{\sqrt{3}}{2}$
Введем замену переменной $t = 2x$. Неравенство примет вид $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал, определяемый на единичной окружности. Значения синуса больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ для углов $t$, находящихся в промежутке от $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$.
С учетом периодичности функции синус ($2\pi$), получаем общее решение для $t$:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выполним обратную замену, подставив $2x$ вместо $t$:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 2:
$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

2) $\operatorname{tg}(-\frac{x}{4}) < \sqrt{3}$
Так как тангенс является нечётной функцией ($\operatorname{tg}(-a) = -\operatorname{tg}(a)$), мы можем переписать неравенство в виде:
$-\operatorname{tg}(\frac{x}{4}) < \sqrt{3}$
Умножим обе части на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$\operatorname{tg}(\frac{x}{4}) > -\sqrt{3}$
Введем замену $t = \frac{x}{4}$. Неравенство примет вид $\operatorname{tg} t > -\sqrt{3}$.
Область определения тангенса $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Решением неравенства является интервал от $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$ до $\frac{\pi}{2}$ с учетом периодичности $\pi$.
$-\frac{\pi}{3} + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену:
$-\frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{x}{4} < \frac{\pi}{2} + \pi n$
Умножим все части неравенства на 4:
$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi n < x < 2\pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-\frac{4\pi}{3} + 4\pi n; 2\pi + 4\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

3) $\operatorname{ctg} 5x > 1$
Введем замену $t = 5x$. Неравенство примет вид $\operatorname{ctg} t > 1$.
Область определения котангенса $t \neq \pi k$. Решением неравенства являются углы, лежащие в интервале от $0$ до $\operatorname{arcctg}(1)$ с учетом периодичности $\pi$.
$\pi n < t < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену:
$\pi n < 5x < \frac{\pi}{4} + \pi n$
Разделим все части неравенства на 5:
$\frac{\pi n}{5} < x < \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\frac{\pi n}{5}; \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}), n \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos(-3x) > \frac{1}{3}$
Так как косинус является чётной функцией ($\cos(-a) = \cos(a)$), мы можем переписать неравенство в виде:
$\cos(3x) > \frac{1}{3}$
Введем замену $t = 3x$. Неравенство примет вид $\cos t > \frac{1}{3}$.
Решением этого неравенства являются углы $t$, для которых соответствующая точка на единичной окружности имеет абсциссу больше $\frac{1}{3}$. Это интервал от $-\arccos(\frac{1}{3})$ до $\arccos(\frac{1}{3})$.
С учетом периодичности функции косинус ($2\pi$), получаем общее решение для $t$:
$-\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n < t < \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену:
$-\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n < 3x < \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$
Разделим все части неравенства на 3:
$-\frac{1}{3}\arccos(\frac{1}{3}) + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{1}{3}\arccos(\frac{1}{3}) + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-\frac{1}{3}\arccos\frac{1}{3} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{1}{3}\arccos\frac{1}{3} + \frac{2\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z}$.