Номер 91, страница 413 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

91. Решите неравенство $1 - \sin 3x \le \left(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}\right)^2$.

Исходное неравенство: $1 - \sin(3x) \le (\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2})^2$.

Сначала преобразуем правую часть неравенства. Для этого раскроем квадрат разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2})^2 = \sin^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}) - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 1 - \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 1 - \sin x$

Теперь исходное неравенство принимает более простой вид:

$1 - \sin 3x \le 1 - \sin x$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$-\sin 3x \le -\sin x$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$\sin 3x \ge \sin x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin 3x - \sin x \ge 0$

Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2\cos\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} \ge 0$

$2\cos(2x)\sin x \ge 0$

Разделим обе части на положительное число 2:

$\cos(2x)\sin x \ge 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Наименьший общий период для функций $\cos(2x)$ (период $\pi$) и $\sin x$ (период $2\pi$) равен $2\pi$. Решим неравенство на отрезке $[0, 2\pi]$.

Найдем нули левой части на этом отрезке:

1) $\sin x = 0$ при $x = 0, x = \pi, x = 2\pi$.

2) $\cos(2x) = 0$ при $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2\pi]$ получаем корни: $x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{3\pi}{4}, x = \frac{5\pi}{4}, x = \frac{7\pi}{4}$.

Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения $\cos(2x)\sin x$ на каждом из полученных интервалов.

– на $[0, \frac{\pi}{4}]$: $\sin x \ge 0$, $\cos 2x \ge 0$, произведение $\ge 0$.

– на $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$: $\sin x \ge 0$, $\cos 2x \le 0$, произведение $\le 0$.

– на $[\frac{3\pi}{4}, \pi]$: $\sin x \ge 0$, $\cos 2x \ge 0$, произведение $\ge 0$.

– на $[\pi, \frac{5\pi}{4}]$: $\sin x \le 0$, $\cos 2x \ge 0$, произведение $\le 0$.

– на $[\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$: $\sin x \le 0$, $\cos 2x \le 0$, произведение $\ge 0$.

– на $[\frac{7\pi}{4}, 2\pi]$: $\sin x \le 0$, $\cos 2x \ge 0$, произведение $\le 0$.

Выбираем интервалы, на которых произведение неотрицательно. Решением на отрезке $[0, 2\pi]$ является объединение промежутков:

$[0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \pi] \cup [\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$

Осталось обобщить это решение, прибавив период $2\pi$.

Ответ: $x \in [2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n] \cup [\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \pi + 2\pi n] \cup [\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.