Номер 89, страница 413 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

89. Решите неравенство:

1) $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} > \frac{1}{2}$;

2) $\cos \pi x + \sin \left(\pi x + \frac{\pi}{4}\right) > 0$.

1) $\sin^4\frac{x}{3} + \cos^4\frac{x}{3} > \frac{1}{2}$

Преобразуем левую часть неравенства. Обозначим $\alpha = \frac{x}{3}$. Неравенство примет вид $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha > \frac{1}{2}$.

Воспользуемся тождеством $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$. Положив $a=\sin^2\alpha$ и $b=\cos^2\alpha$, получим:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Так как по основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, выражение упрощается до:

$1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin^2\alpha\cos^2\alpha = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$, получаем:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)$.

Теперь исходное неравенство принимает вид:

$1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha) > \frac{1}{2}$

Вычтем 1 из обеих частей:

$-\frac{1}{2}\sin^2(2\alpha) > -\frac{1}{2}$

Умножим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$\sin^2(2\alpha) < 1$

Это неравенство выполняется для всех значений $\alpha$, кроме тех, для которых $\sin^2(2\alpha) = 1$.

Условие $\sin^2(2\alpha) = 1$ равносильно тому, что $\sin(2\alpha) = \pm 1$. Это происходит, когда аргумент $2\alpha$ равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого числа $k$.

Следовательно, решение неравенства — это все значения $\alpha$, для которых выполняется условие:

$2\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Произведем обратную замену $\alpha = \frac{x}{3}$:

$2 \cdot \frac{x}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$

$\frac{2x}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$

Выразим $x$:

$x \neq \frac{3}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)$

$x \neq \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(\pi x) + \sin(\pi x + \frac{\pi}{4}) > 0$

Воспользуемся формулой приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, чтобы привести оба слагаемых к синусам:

$\cos(\pi x) = \sin(\frac{\pi}{2} - \pi x)$.

Неравенство принимает вид:

$\sin(\frac{\pi}{2} - \pi x) + \sin(\pi x + \frac{\pi}{4}) > 0$.

Применим формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.

В нашем случае $A = \pi x + \frac{\pi}{4}$ и $B = \frac{\pi}{2} - \pi x$.

Найдём полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{A+B}{2} = \frac{(\pi x + \frac{\pi}{4}) + (\frac{\pi}{2} - \pi x)}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{3\pi}{8}$.

$\frac{A-B}{2} = \frac{(\pi x + \frac{\pi}{4}) - (\frac{\pi}{2} - \pi x)}{2} = \frac{2\pi x - \frac{\pi}{4}}{2} = \pi x - \frac{\pi}{8}$.

Подставив эти значения в формулу, получим неравенство:

$2\sin(\frac{3\pi}{8})\cos(\pi x - \frac{\pi}{8}) > 0$.

Так как угол $\frac{3\pi}{8}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$), то его синус положителен: $\sin(\frac{3\pi}{8}) > 0$. Следовательно, множитель $2\sin(\frac{3\pi}{8})$ является положительной константой. Мы можем разделить обе части неравенства на это число, не меняя знака:

$\cos(\pi x - \frac{\pi}{8}) > 0$.

Это базовое тригонометрическое неравенство. Косинус положителен, когда его аргумент находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, с учётом периодичности.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \pi x - \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим это двойное неравенство относительно $x$. Сначала прибавим $\frac{\pi}{8}$ ко всем частям:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8} + 2\pi n < \pi x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8} + 2\pi n$

$-\frac{4\pi}{8} + \frac{\pi}{8} + 2\pi n < \pi x < \frac{4\pi}{8} + \frac{\pi}{8} + 2\pi n$

$-\frac{3\pi}{8} + 2\pi n < \pi x < \frac{5\pi}{8} + 2\pi n$

Наконец, разделим все части на $\pi$:

$-\frac{3}{8} + 2n < x < \frac{5}{8} + 2n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{8} + 2n; \frac{5}{8} + 2n), n \in \mathbb{Z}$.