Страница 413 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

89. Решите неравенство:

1) $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} > \frac{1}{2}$;

2) $\cos \pi x + \sin \left(\pi x + \frac{\pi}{4}\right) > 0$.

1) $\sin^4\frac{x}{3} + \cos^4\frac{x}{3} > \frac{1}{2}$

Преобразуем левую часть неравенства. Обозначим $\alpha = \frac{x}{3}$. Неравенство примет вид $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha > \frac{1}{2}$.

Воспользуемся тождеством $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$. Положив $a=\sin^2\alpha$ и $b=\cos^2\alpha$, получим:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Так как по основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, выражение упрощается до:

$1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin^2\alpha\cos^2\alpha = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$, получаем:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)$.

Теперь исходное неравенство принимает вид:

$1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha) > \frac{1}{2}$

Вычтем 1 из обеих частей:

$-\frac{1}{2}\sin^2(2\alpha) > -\frac{1}{2}$

Умножим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$\sin^2(2\alpha) < 1$

Это неравенство выполняется для всех значений $\alpha$, кроме тех, для которых $\sin^2(2\alpha) = 1$.

Условие $\sin^2(2\alpha) = 1$ равносильно тому, что $\sin(2\alpha) = \pm 1$. Это происходит, когда аргумент $2\alpha$ равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого числа $k$.

Следовательно, решение неравенства — это все значения $\alpha$, для которых выполняется условие:

$2\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Произведем обратную замену $\alpha = \frac{x}{3}$:

$2 \cdot \frac{x}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$

$\frac{2x}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$

Выразим $x$:

$x \neq \frac{3}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)$

$x \neq \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(\pi x) + \sin(\pi x + \frac{\pi}{4}) > 0$

Воспользуемся формулой приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$, чтобы привести оба слагаемых к синусам:

$\cos(\pi x) = \sin(\frac{\pi}{2} - \pi x)$.

Неравенство принимает вид:

$\sin(\frac{\pi}{2} - \pi x) + \sin(\pi x + \frac{\pi}{4}) > 0$.

Применим формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.

В нашем случае $A = \pi x + \frac{\pi}{4}$ и $B = \frac{\pi}{2} - \pi x$.

Найдём полусумму и полуразность аргументов:

$\frac{A+B}{2} = \frac{(\pi x + \frac{\pi}{4}) + (\frac{\pi}{2} - \pi x)}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{3\pi}{8}$.

$\frac{A-B}{2} = \frac{(\pi x + \frac{\pi}{4}) - (\frac{\pi}{2} - \pi x)}{2} = \frac{2\pi x - \frac{\pi}{4}}{2} = \pi x - \frac{\pi}{8}$.

Подставив эти значения в формулу, получим неравенство:

$2\sin(\frac{3\pi}{8})\cos(\pi x - \frac{\pi}{8}) > 0$.

Так как угол $\frac{3\pi}{8}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$), то его синус положителен: $\sin(\frac{3\pi}{8}) > 0$. Следовательно, множитель $2\sin(\frac{3\pi}{8})$ является положительной константой. Мы можем разделить обе части неравенства на это число, не меняя знака:

$\cos(\pi x - \frac{\pi}{8}) > 0$.

Это базовое тригонометрическое неравенство. Косинус положителен, когда его аргумент находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, с учётом периодичности.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \pi x - \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим это двойное неравенство относительно $x$. Сначала прибавим $\frac{\pi}{8}$ ко всем частям:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8} + 2\pi n < \pi x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8} + 2\pi n$

$-\frac{4\pi}{8} + \frac{\pi}{8} + 2\pi n < \pi x < \frac{4\pi}{8} + \frac{\pi}{8} + 2\pi n$

$-\frac{3\pi}{8} + 2\pi n < \pi x < \frac{5\pi}{8} + 2\pi n$

Наконец, разделим все части на $\pi$:

$-\frac{3}{8} + 2n < x < \frac{5}{8} + 2n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{8} + 2n; \frac{5}{8} + 2n), n \in \mathbb{Z}$.

90. Решите неравенство:

1) $4 \cos x \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)>\sqrt{3}$;

2) $2 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos x<\sqrt{3}$;

3) $3+2 \sin 3 x \sin x>3 \cos 2 x$;

4) $\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \geq-\frac{\sqrt{3}}{4}$.

1) $4 \cos x \cos(x + \frac{\pi}{6}) > \sqrt{3}$

Используем формулу произведения косинусов: $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$.

$2 \cdot [2 \cos(x + \frac{\pi}{6}) \cos x] > \sqrt{3}$

Применим формулу, где $\alpha = x + \frac{\pi}{6}$ и $\beta = x$:

$2 \cdot [\cos(x + \frac{\pi}{6} + x) + \cos(x + \frac{\pi}{6} - x)] > \sqrt{3}$

$2[\cos(2x + \frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{6})] > \sqrt{3}$

Подставляем значение $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$2[\cos(2x + \frac{\pi}{6}) + \frac{\sqrt{3}}{2}] > \sqrt{3}$

$2\cos(2x + \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} > \sqrt{3}$

$2\cos(2x + \frac{\pi}{6}) > 0$

$\cos(2x + \frac{\pi}{6}) > 0$

Решением неравенства $\cos t > 0$ является интервал $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = 2x + \frac{\pi}{6}$:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$-\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$-\frac{4\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{2\pi}{6} + 2\pi n$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим все части на 2:

$-\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) \cos x < \sqrt{3}$

Используем формулу произведения синуса на косинус: $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.

Применим формулу, где $\alpha = x + \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$:

$\sin(x + \frac{\pi}{3} + x) + \sin(x + \frac{\pi}{3} - x) < \sqrt{3}$

$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{3}) < \sqrt{3}$

Подставляем значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} < \sqrt{3}$

$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) < \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решением неравенства $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ является интервал $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{7\pi}{3} + 2\pi n$, что эквивалентно $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = 2x + \frac{\pi}{3}$:

$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < 2x + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$-\frac{5\pi}{3} + 2\pi n < 2x < 2\pi n$

Разделим все части на 2:

$-\frac{5\pi}{6} + \pi n < x < \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{6} + \pi n; \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

3) $3 + 2 \sin 3x \sin x > 3 \cos 2x$

Используем формулу произведения синусов: $2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

Применим формулу, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$3 + (\cos(3x - x) - \cos(3x + x)) > 3 \cos 2x$

$3 + \cos(2x) - \cos(4x) > 3 \cos 2x$

$3 - \cos(4x) > 2 \cos 2x$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$.

$3 - (2\cos^2(2x) - 1) > 2 \cos 2x$

$3 - 2\cos^2(2x) + 1 > 2 \cos 2x$

$4 - 2\cos^2(2x) > 2 \cos 2x$

Перенесем все в правую часть:

$0 > 2\cos^2(2x) + 2\cos(2x) - 4$

Разделим на 2: $\cos^2(2x) + \cos(2x) - 2 < 0$.

Сделаем замену $y = \cos(2x)$. Получим квадратное неравенство $y^2 + y - 2 < 0$.

Корни уравнения $y^2 + y - 2 = 0$ по теореме Виета равны $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Решением неравенства является интервал $-2 < y < 1$.

Возвращаемся к замене: $-2 < \cos(2x) < 1$.

Неравенство $\cos(2x) > -2$ выполняется всегда, так как область значений косинуса $[-1; 1]$.

Остается решить неравенство $\cos(2x) < 1$.

Это неравенство выполняется для всех значений аргумента, кроме тех, где $\cos(2x) = 1$.

$\cos(2x) = 1$ при $2x = 2\pi n$, то есть $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, решением исходного неравенства являются все действительные числа, кроме $x = \pi n$.

Ответ: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos(x + \frac{\pi}{4}) \cos(x - \frac{\pi}{4}) \ge -\frac{\sqrt{3}}{4}$

Используем формулу произведения косинусов: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$.

Применим формулу, где $\alpha = x + \frac{\pi}{4}$ и $\beta = x - \frac{\pi}{4}$:

$\frac{1}{2} [\cos((x + \frac{\pi}{4}) + (x - \frac{\pi}{4})) + \cos((x + \frac{\pi}{4}) - (x - \frac{\pi}{4}))] \ge -\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\frac{1}{2} [\cos(2x) + \cos(\frac{\pi}{2})] \ge -\frac{\sqrt{3}}{4}$

Подставляем значение $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$:

$\frac{1}{2} [ \cos(2x) + 0] \ge -\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\frac{1}{2}\cos(2x) \ge -\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\cos(2x) \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решением неравенства $\cos t \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ является промежуток $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = 2x$:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Разделим все части на 2:

$-\frac{5\pi}{12} + \pi n \le x \le \frac{5\pi}{12} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{12} + \pi n; \frac{5\pi}{12} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

91. Решите неравенство $1 - \sin 3x \le \left(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}\right)^2$.

Исходное неравенство: $1 - \sin(3x) \le (\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2})^2$.

Сначала преобразуем правую часть неравенства. Для этого раскроем квадрат разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2})^2 = \sin^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}) - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 1 - \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 1 - \sin x$

Теперь исходное неравенство принимает более простой вид:

$1 - \sin 3x \le 1 - \sin x$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$-\sin 3x \le -\sin x$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$\sin 3x \ge \sin x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin 3x - \sin x \ge 0$

Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулой преобразования разности синусов в произведение: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2\cos\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} \ge 0$

$2\cos(2x)\sin x \ge 0$

Разделим обе части на положительное число 2:

$\cos(2x)\sin x \ge 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Наименьший общий период для функций $\cos(2x)$ (период $\pi$) и $\sin x$ (период $2\pi$) равен $2\pi$. Решим неравенство на отрезке $[0, 2\pi]$.

Найдем нули левой части на этом отрезке:

1) $\sin x = 0$ при $x = 0, x = \pi, x = 2\pi$.

2) $\cos(2x) = 0$ при $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2\pi]$ получаем корни: $x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{3\pi}{4}, x = \frac{5\pi}{4}, x = \frac{7\pi}{4}$.

Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения $\cos(2x)\sin x$ на каждом из полученных интервалов.

– на $[0, \frac{\pi}{4}]$: $\sin x \ge 0$, $\cos 2x \ge 0$, произведение $\ge 0$.

– на $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$: $\sin x \ge 0$, $\cos 2x \le 0$, произведение $\le 0$.

– на $[\frac{3\pi}{4}, \pi]$: $\sin x \ge 0$, $\cos 2x \ge 0$, произведение $\ge 0$.

– на $[\pi, \frac{5\pi}{4}]$: $\sin x \le 0$, $\cos 2x \ge 0$, произведение $\le 0$.

– на $[\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$: $\sin x \le 0$, $\cos 2x \le 0$, произведение $\ge 0$.

– на $[\frac{7\pi}{4}, 2\pi]$: $\sin x \le 0$, $\cos 2x \ge 0$, произведение $\le 0$.

Выбираем интервалы, на которых произведение неотрицательно. Решением на отрезке $[0, 2\pi]$ является объединение промежутков:

$[0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \pi] \cup [\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$

Осталось обобщить это решение, прибавив период $2\pi$.

Ответ: $x \in [2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n] \cup [\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \pi + 2\pi n] \cup [\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

92. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{x-1}{x+1}$;

2) $y = \frac{x}{x^2-1}$.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{x-1}{x+1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби):

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

В данном случае, $u = x-1$ и $v = x+1$.

Сначала найдем производные для числителя и знаменателя:

$u' = (x-1)' = 1$

$v' = (x+1)' = 1$

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{x+1 - (x-1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{2}{(x+1)^2}$

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{x^2-1}$ также используем правило дифференцирования частного.

Здесь $u = x$ и $v = x^2-1$.

Найдем производные для $u$ и $v$:

$u' = (x)' = 1$

$v' = (x^2-1)' = 2x$

Подставим найденные производные в формулу:

$y' = \frac{(x)'(x^2-1) - x(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2-1) - x \cdot (2x)}{(x^2-1)^2}$

Упростим числитель:

$y' = \frac{x^2-1 - 2x^2}{(x^2-1)^2} = \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}$

Можно вынести знак минуса за дробь для более удобного вида:

$y' = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$

93. Чему равно значение производной функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = \frac{8}{x} + 5x - 2, x_0 = 2;$

2) $f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 2} - 2\sin x, x_0 = 0?$

1) Дана функция $f(x) = \frac{8}{x} + 5x - 2$ и точка $x_0 = 2$.
Чтобы найти значение производной в точке, сначала нужно найти саму производную функции $f(x)$.
Представим функцию в виде $f(x) = 8x^{-1} + 5x - 2$.
Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы функций.
$f'(x) = (8x^{-1})' + (5x)' - (2)'$
$f'(x) = 8 \cdot (-1)x^{-1-1} + 5 \cdot 1 - 0 = -8x^{-2} + 5$
Таким образом, производная функции равна:
$f'(x) = -\frac{8}{x^2} + 5$
Теперь подставим значение $x_0 = 2$ в выражение для производной:
$f'(2) = -\frac{8}{2^2} + 5 = -\frac{8}{4} + 5 = -2 + 5 = 3$.
Ответ: 3

2) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 2} - 2\sin x$ и точка $x_0 = 0$.
Найдем производную функции $f(x)$. Функция является разностью двух выражений, поэтому найдем производную каждого из них.
Для первого слагаемого $\frac{x^2 + 2}{x - 2}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = x^2 + 2$, $v(x) = x - 2$.
Находим производные $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = 1$.
Подставляем в формулу:
$(\frac{x^2 + 2}{x - 2})' = \frac{(2x)(x - 2) - (x^2 + 2)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 2}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x - 2)^2}$.
Производная второго слагаемого: $(-2\sin x)' = -2(\sin x)' = -2\cos x$.
Собираем все вместе и получаем производную исходной функции:
$f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 2}{(x - 2)^2} - 2\cos x$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:$
$f'(0) = \frac{0^2 - 4 \cdot 0 - 2}{(0 - 2)^2} - 2\cos(0)$
Так как $\cos(0) = 1$, получаем:
$f'(0) = \frac{-2}{(-2)^2} - 2 \cdot 1 = \frac{-2}{4} - 2 = -0,5 - 2 = -2,5$.
Ответ: -2,5

94. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{1}{x^9} - \frac{3}{x^3}$;

2) $y = (x + 1)^3(x - 2)^4$.

1)

Дана функция $y = \frac{1}{x^9} - \frac{3}{x^3}$.

Для нахождения производной, сначала перепишем функцию, используя степени с отрицательными показателями, что упростит применение правила дифференцирования.

$y = x^{-9} - 3x^{-3}$

Теперь применим правило дифференцирования для разности функций $(u-v)' = u' - v'$ и правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (x^{-9} - 3x^{-3})' = (x^{-9})' - (3x^{-3})'$

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

$(x^{-9})' = -9 \cdot x^{-9-1} = -9x^{-10}$

$(3x^{-3})' = 3 \cdot (x^{-3})' = 3 \cdot (-3) \cdot x^{-3-1} = -9x^{-4}$

Подставим найденные производные обратно в выражение для $y'$:

$y' = -9x^{-10} - (-9x^{-4}) = -9x^{-10} + 9x^{-4}$

Для финального ответа вернемся к представлению с дробями (положительными степенями в знаменателе):

$y' = -\frac{9}{x^{10}} + \frac{9}{x^4}$

Для удобства можно поменять слагаемые местами:

$y' = \frac{9}{x^4} - \frac{9}{x^{10}}$

Ответ: $y' = \frac{9}{x^4} - \frac{9}{x^{10}}$

2)

Дана функция $y = (x + 1)^3(x - 2)^4$.

Эта функция является произведением двух функций: $u(x) = (x+1)^3$ и $v(x) = (x-2)^4$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ и правило степенной функции.

Производная для $u(x) = (x+1)^3$:

$u' = ((x+1)^3)' = 3(x+1)^{3-1} \cdot (x+1)' = 3(x+1)^2 \cdot 1 = 3(x+1)^2$

Производная для $v(x) = (x-2)^4$:

$v' = ((x-2)^4)' = 4(x-2)^{4-1} \cdot (x-2)' = 4(x-2)^3 \cdot 1 = 4(x-2)^3$

Теперь подставим $u, v, u', v'$ в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 3(x+1)^2(x-2)^4 + (x+1)^3 \cdot 4(x-2)^3$

Чтобы упростить выражение, вынесем за скобки общий множитель $(x+1)^2(x-2)^3$:

$y' = (x+1)^2(x-2)^3 [3(x-2) + 4(x+1)]

Далее упростим выражение в квадратных скобках:

$3(x-2) + 4(x+1) = 3x - 6 + 4x + 4 = 7x - 2$

В итоге получаем окончательный вид производной:

$y' = (x+1)^2(x-2)^3(7x - 2)$

Ответ: $y' = (x+1)^2(x-2)^3(7x-2)$

95. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = 0,5x^2 - 2x + 2, x_0 = 0;$

2) $f(x) = \cot\left(x + \frac{\pi}{4}\right), x_0 = -\frac{\pi}{2}.$

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$ (тангенс угла наклона касательной).

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(x_0) = f(0) = 0,5 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 2 = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (0,5x^2 - 2x + 2)' = 0,5 \cdot 2x - 2 = x - 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(x_0) = f'(0) = 0 - 2 = -2$.

4. Подставим найденные значения $x_0=0$, $f(x_0)=2$ и $f'(x_0)=-2$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-2)(x - 0)$

$y = 2 - 2x$

Ответ: $y = -2x + 2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$f(x_0) = f(-\frac{\pi}{2}) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{4})$.

Так как котангенс — нечетная функция, $\text{ctg}(-a) = -\text{ctg}(a)$, то:

$f(-\frac{\pi}{2}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции. Производная $(\text{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$:

$f'(x) = (\text{ctg}(x + \frac{\pi}{4}))' = -\frac{1}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})} \cdot (x + \frac{\pi}{4})' = -\frac{1}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$f'(x_0) = f'(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\sin^2(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{\sin^2(-\frac{\pi}{4})}$.

Так как $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\sin^2(-\frac{\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $f'(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{1/2} = -2$.

4. Подставим найденные значения $x_0=-\frac{\pi}{2}$, $f(x_0)=-1$ и $f'(x_0)=-2$ в уравнение касательной:

$y = -1 + (-2)(x - (-\frac{\pi}{2}))$

$y = -1 - 2(x + \frac{\pi}{2})$

$y = -1 - 2x - \pi$

Запишем уравнение в стандартном виде $y = kx + b$:

$y = -2x - \pi - 1$

Ответ: $y = -2x - \pi - 1$

96. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 5x,$ если эта касательная параллельна прямой $y = -x.$

Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, искомая касательная параллельна прямой $y = -x$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = -x$ равен $-1$.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции в этой точке. То есть, $k = f'(x_0)$.

Следовательно, нам нужно найти такую точку $x_0$, для которой выполняется условие $f'(x_0) = -1$.

1. Найдем производную функции $f(x) = x^2 - 5x$:

$f'(x) = (x^2 - 5x)' = 2x - 5$.

2. Приравняем производную к $-1$, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = -1$

$2x_0 - 5 = -1$

$2x_0 = 4$

$x_0 = 2$

3. Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив значение $x_0 = 2$ в исходную функцию $f(x)$:

$y_0 = f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 = 4 - 10 = -6$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(2; -6)$.

4. Теперь, зная точку касания $(x_0; y_0) = (2; -6)$ и угловой коэффициент $k = -1$, составим уравнение касательной:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - (-6) = -1(x - 2)$

$y + 6 = -x + 2$

$y = -x + 2 - 6$

$y = -x - 4$

Ответ: $y = -x - 4$.

97. Определите, является ли прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ касательной к графику функции $y = \sqrt{x}$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Для того чтобы определить, является ли прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x}$, необходимо проверить выполнение двух условий в некоторой точке $x_0$:

1. Значение функции в точке $x_0$ должно быть равно значению прямой в этой же точке (точка касания лежит на обоих графиках).
2. Значение производной функции в точке $x_0$ должно быть равно угловому коэффициенту (наклону) прямой.

1. Найдем производную функции.

Функция: $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.

Ее производная: $f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

2. Найдем абсциссу точки касания.

Угловой коэффициент данной прямой $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ равен $k = \frac{1}{2}$.

Приравняем значение производной к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти возможную абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = k$

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = \frac{1}{2}$

Из этого уравнения следует, что $2\sqrt{x_0} = 2$, или $\sqrt{x_0} = 1$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $x_0 = 1$.

3. Проверим, принадлежит ли точка касания обоим графикам.

Мы нашли возможную абсциссу точки касания $x_0 = 1$. Найдем ординату этой точки на графике функции $y = \sqrt{x}$:

$y_0 = \sqrt{1} = 1$.

Таким образом, предполагаемая точка касания — $(1, 1)$.

Теперь проверим, лежит ли эта точка на прямой $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$. Подставим координаты точки $(1, 1)$ в уравнение прямой:

$1 = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}$

$1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$1 = 1$

Равенство верное, значит точка $(1, 1)$ принадлежит и графику функции, и прямой.

Поскольку оба условия касания выполнены в точке $x_0 = 1$, данная прямая является касательной к графику функции $y = \sqrt{x}$ в этой точке.

Ответ: Да, прямая является касательной. Абсцисса точки касания: 1.

98. Запишите уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4$, если эта касательная проходит через точку $M(2; -1)$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче функция $f(x) = x^2 - 4$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Тогда значение функции в этой точке равно $f(x_0) = x_0^2 - 4$, а значение производной (угловой коэффициент касательной) — $f'(x_0) = 2x_0$.

Подставим эти выражения в общее уравнение касательной:

$y = (x_0^2 - 4) + 2x_0(x - x_0)$

По условию, касательная проходит через точку $M(2; -1)$. Это означает, что координаты точки $M$ удовлетворяют уравнению касательной. Подставим $x = 2$ и $y = -1$ в полученное уравнение, чтобы найти $x_0$:

$-1 = (x_0^2 - 4) + 2x_0(2 - x_0)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_0$:

$-1 = x_0^2 - 4 + 4x_0 - 2x_0^2$

$-1 = -x_0^2 + 4x_0 - 4$

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x_0^2 - 4x_0 + 4 - 1 = 0$

$x_0^2 - 4x_0 + 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корнями являются:

$x_{0_1} = 1$ и $x_{0_2} = 3$.

Мы получили два значения для абсциссы точки касания, а значит, из точки $M$ можно провести две касательные к графику данной функции. Найдем уравнение для каждой из них.

Случай 1: $x_0 = 1$

Находим $f(1) = 1^2 - 4 = -3$ и $f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.

Подставляем эти значения в уравнение касательной:

$y = -3 + 2(x - 1)$

$y = -3 + 2x - 2$

$y = 2x - 5$

Случай 2: $x_0 = 3$

Находим $f(3) = 3^2 - 4 = 5$ и $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$.

Подставляем эти значения в уравнение касательной:

$y = 5 + 6(x - 3)$

$y = 5 + 6x - 18$

$y = 6x - 13$

Таким образом, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $y = 2x - 5$ и $y = 6x - 13$.

99. В какой точке графика функции $y = x + \frac{3}{x}$ надо провести касательную, чтобы эта касательная пересекла ось ординат в точке (0; 6)?

Пусть искомая точка касания имеет координаты $(x_0; y_0)$. Эта точка принадлежит графику функции $y = x + \frac{3}{x}$, следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению $y_0 = x_0 + \frac{3}{x_0}$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит так: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = y = x + \frac{3}{x}$: $f'(x) = (x + 3x^{-1})' = 1 - 3x^{-2} = 1 - \frac{3}{x^2}$.

Теперь мы можем записать уравнение касательной в точке $(x_0; y_0)$: $y_0 = x_0 + \frac{3}{x_0}$ $f'(x_0) = 1 - \frac{3}{x_0^2}$ Подставляем в общую формулу: $y = \left(x_0 + \frac{3}{x_0}\right) + \left(1 - \frac{3}{x_0^2}\right)(x - x_0)$.

По условию задачи, эта касательная проходит через точку $(0; 6)$. Подставим значения $x=0$ и $y=6$ в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$: $6 = \left(x_0 + \frac{3}{x_0}\right) + \left(1 - \frac{3}{x_0^2}\right)(0 - x_0)$ $6 = x_0 + \frac{3}{x_0} - x_0\left(1 - \frac{3}{x_0^2}\right)$ $6 = x_0 + \frac{3}{x_0} - x_0 + \frac{3x_0}{x_0^2}$ $6 = \frac{3}{x_0} + \frac{3}{x_0}$ $6 = \frac{6}{x_0}$

Из последнего уравнения находим $x_0$: $6x_0 = 6$ $x_0 = 1$

Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 1$ в уравнение функции: $y_0 = 1 + \frac{3}{1} = 1 + 3 = 4$.

Таким образом, искомая точка графика функции, в которой нужно провести касательную, это точка с координатами $(1; 4)$.

Ответ: $(1; 4)$.

100. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^2 + 4x - 7$;

2) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 8x + 9$;

3) $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1$;

4) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$.

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^2 + 4x - 7$ необходимо найти ее производную и определить знаки производной на числовой оси.
Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 + 4x - 7)' = 2x + 4$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$.
3. Критическая точка $x = -2$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.
- На промежутке $(-\infty; -2)$, возьмем точку $x = -3$: $f'(-3) = 2(-3) + 4 = -2 < 0$. Так как производная отрицательна, функция убывает.
- На промежутке $(-2; +\infty)$, возьмем точку $x = 0$: $f'(0) = 2(0) + 4 = 4 > 0$. Так как производная положительна, функция возрастает.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 8x + 9$ найдем промежутки монотонности.
Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
1. Найдем производную:
$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 8x + 9)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 8 = x^3 - 8$.
2. Найдем критические точки:
$f'(x) = 0 \Rightarrow x^3 - 8 = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$.
3. Критическая точка $x = 2$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на них.
- На промежутке $(-\infty; 2)$, возьмем точку $x = 0$: $f'(0) = 0^3 - 8 = -8 < 0$. Функция убывает.
- На промежутке $(2; +\infty)$, возьмем точку $x = 3$: $f'(3) = 3^3 - 8 = 27 - 8 = 19 > 0$. Функция возрастает.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.

3) Для функции $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1$ найдем промежутки монотонности.
Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
1. Найдем производную:
$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1)' = 4x^3 - 12x^2 + 8x$.
2. Найдем критические точки:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 4x^3 - 12x^2 + 8x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки: $4x(x^2 - 3x + 2) = 0$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $4x(x - 1)(x - 2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$.
3. Эти точки делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них методом интервалов.
- На $(-\infty; 0)$ (например, $x = -1$): $f'(-1) = 4(-1)(-2)(-3) = -24 < 0$. Функция убывает.
- На $(0; 1)$ (например, $x = 0.5$): $f'(0.5) = 4(0.5)(-0.5)(-1.5) = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
- На $(1; 2)$ (например, $x = 1.5$): $f'(1.5) = 4(1.5)(0.5)(-0.5) = -1.5 < 0$. Функция убывает.
- На $(2; +\infty)$ (например, $x = 3$): $f'(3) = 4(3)(2)(1) = 24 > 0$. Функция возрастает.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[0; 1]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; 2]$.

4) Для функции $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$ найдем промежутки монотонности.
1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 9 \Rightarrow x \neq \pm 3$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
2. Найдем производную функции, используя правило производной частного:
$f'(x) = \left(\frac{x}{x^2 - 9}\right)' = \frac{(x)'(x^2 - 9) - x(x^2 - 9)'}{(x^2 - 9)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 9) - x \cdot (2x)}{(x^2 - 9)^2} = \frac{x^2 - 9 - 2x^2}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-x^2 - 9}{(x^2 - 9)^2} = -\frac{x^2 + 9}{(x^2 - 9)^2}$.
3. Определим знак производной.
Числитель $-(x^2 + 9)$ всегда отрицателен, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 9 > 0$.
Знаменатель $(x^2 - 9)^2$ всегда положителен для всех $x$ из области определения, так как является квадратом выражения.
Следовательно, $f'(x) = \frac{\text{отрицательное число}}{\text{положительное число}} < 0$ на всей области определения.
Поскольку производная всегда отрицательна, функция убывает на каждом из промежутков своей области определения.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.