Страница 407 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24. Дана функция $f(x) = x^{-19}$. Сравните:

1) $f(1,6)$ и $f(2)$;

2) $f(-5,6)$ и $f(-6,5)$;

3) $f(-9,6)$ и $f(9,6)$;

4) $f(0,1)$ и $f(-10)$.

Для решения данной задачи проанализируем свойства функции $f(x) = x^{-19}$.

Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{19}}$.

Свойства функции:

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^{19} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Четность/нечетность. Показатель степени 19 — нечетное число. Проверим функцию на нечетность: $f(-x) = (-x)^{-19} = \frac{1}{(-x)^{19}} = \frac{1}{-x^{19}} = - \frac{1}{x^{19}} = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
3. Монотонность. Для определения интервалов возрастания и убывания найдем производную функции: $f'(x) = (x^{-19})' = -19 \cdot x^{-20} = -\frac{19}{x^{20}}$. Поскольку $x^{20}$ всегда положительно для любого $x \neq 0$ (четная степень), то $f'(x) = -\frac{19}{x^{20}}$ всегда отрицательна ($f'(x) < 0$) на всей области определения. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Используя эти свойства, сравним значения функции в заданных точках.

1) f(1,6) и f(2);
Аргументы 1,6 и 2 принадлежат интервалу $(0; +\infty)$, на котором функция $f(x)$ строго убывает. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
Сравним аргументы: $1,6 < 2$.
Так как функция убывает, то значение функции в меньшей точке будет больше, чем значение функции в большей точке.
Следовательно, $f(1,6) > f(2)$.

Ответ: $f(1,6) > f(2)$.

2) f(-5,6) и f(-6,5);
Аргументы -5,6 и -6,5 принадлежат интервалу $(-\infty; 0)$, на котором функция $f(x)$ также строго убывает.
Сравним аргументы: $-5,6 > -6,5$.
Поскольку функция убывает на этом интервале, для $x_1 > x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$.
Следовательно, $f(-5,6) < f(-6,5)$.

Ответ: $f(-5,6) < f(-6,5)$.

3) f(-9,6) и f(9,6);
Как было установлено, функция $f(x) = x^{-19}$ является нечетной, то есть $f(-x) = -f(x)$.
Поэтому $f(-9,6) = -f(9,6)$.
Теперь нам нужно сравнить $-f(9,6)$ и $f(9,6)$.
Найдем знак $f(9,6)$. Так как $9,6 > 0$, то $9,6^{19} > 0$, и, следовательно, $f(9,6) = \frac{1}{9,6^{19}} > 0$.
Значит, $f(9,6)$ — положительное число, а $f(-9,6) = -f(9,6)$ — отрицательное число.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Следовательно, $f(-9,6) < f(9,6)$.

Ответ: $f(-9,6) < f(9,6)$.

4) f(0,1) и f(-10).
Рассмотрим знаки значений функции для данных аргументов.
Аргумент $0,1$ является положительным числом ($0,1 > 0$). Для любого $x > 0$, значение $x^{19}$ будет положительным, а значит и $f(x) = \frac{1}{x^{19}}$ будет положительным. Таким образом, $f(0,1) > 0$.
Аргумент $-10$ является отрицательным числом ($-10 < 0$). Для любого $x < 0$, значение $x^{19}$ будет отрицательным (так как 19 — нечетное число), а значит и $f(x) = \frac{1}{x^{19}}$ будет отрицательным. Таким образом, $f(-10) < 0$.
Сравнивая положительное число $f(0,1)$ и отрицательное число $f(-10)$, мы можем заключить, что положительное число всегда больше отрицательного.
Следовательно, $f(0,1) > f(-10)$.

Ответ: $f(0,1) > f(-10)$.

25. Функция задана формулой $f(x) = x^{-16}$. Сравните:

1) $f(1,6)$ и $f(2,2)$;

2) $f(-4,5)$ и $f(-3,6)$;

3) $f(-3,4)$ и $f(3,4)$;

4) $f(-18)$ и $f(3)$.

Функция задана формулой $f(x) = x^{-16}$. Эту формулу можно записать в виде дроби: $f(x) = \frac{1}{x^{16}}$.

Для сравнения значений функции в разных точках, проанализируем ее ключевые свойства.

Свойство 1: Четность функции.
Показатель степени $16$ является четным числом. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции ($x \neq 0$) выполняется равенство $(-x)^{16} = x^{16}$.
Следовательно, $f(-x) = (-x)^{-16} = \frac{1}{(-x)^{16}} = \frac{1}{x^{16}} = f(x)$.
Функция $f(x)$ является четной. Это означает, что $f(-a) = f(a)$ для любого $a \neq 0$.

Свойство 2: Монотонность функции.
Поведение функции зависит от знака аргумента.
1. На промежутке $(0; +\infty)$: Если взять два положительных числа $x_1$ и $x_2$ так, что $x_1 < x_2$, то, поскольку возведение в положительную степень является возрастающей функцией для положительных оснований, $x_1^{16} < x_2^{16}$. При делении единицы на эти числа знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{1}{x_1^{16}} > \frac{1}{x_2^{16}}$, то есть $f(x_1) > f(x_2)$. Таким образом, на промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает.
2. На промежутке $(-\infty; 0)$: Если взять два отрицательных числа $x_1$ и $x_2$ так, что $x_1 < x_2$ (например, $-5 < -2$), то их модули будут находиться в обратном соотношении: $|x_1| > |x_2|$. Поскольку степень $16$ четная, $x^{16} = |x|^{16}$. Следовательно, $x_1^{16} = |x_1|^{16} > |x_2|^{16} = x_2^{16}$. Опять же, при делении единицы на эти числа знак неравенства меняется: $\frac{1}{x_1^{16}} < \frac{1}{x_2^{16}}$, то есть $f(x_1) < f(x_2)$. Таким образом, на промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает.

Используя эти свойства, сравним заданные значения.

1) f(1,6) и f(2,2)
Аргументы $1,6$ и $2,2$ оба положительны, то есть принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция убывает.
Поскольку $1,6 < 2,2$, то по свойству убывающей функции $f(1,6) > f(2,2)$.
Ответ: $f(1,6) > f(2,2)$.

2) f(-4,5) и f(-3,6)
Аргументы $-4,5$ и $-3,6$ оба отрицательны, то есть принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$, на котором функция возрастает.
Поскольку $-4,5 < -3,6$, то по свойству возрастающей функции $f(-4,5) < f(-3,6)$.
Ответ: $f(-4,5) < f(-3,6)$.

3) f(-3,4) и f(3,4)
Функция $f(x) = x^{-16}$ является четной. По определению четной функции, $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения.
Следовательно, для $x=3,4$ получаем $f(-3,4) = f(3,4)$.
Ответ: $f(-3,4) = f(3,4)$.

4) f(-18) и f(3)
Воспользуемся свойством четности функции, чтобы упростить сравнение: $f(-18) = f(18)$.
Теперь задача сводится к сравнению $f(18)$ и $f(3)$.
Оба аргумента, $18$ и $3$, принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция убывает.
Так как $3 < 18$, для убывающей функции выполняется неравенство $f(3) > f(18)$.
Заменив $f(18)$ на равное ему $f(-18)$, получаем $f(3) > f(-18)$.
Ответ: $f(-18) < f(3)$.

26. Постройте график функции:

1) $y = (x - 1)^{-3}$;

2) $y = |x^{-3}|$;

3) $y = |x - 1|^{-3}$.

1) $y = (x - 1)^{-3}$;
Данная функция может быть записана в виде $y = \frac{1}{(x - 1)^3}$.
Для построения ее графика воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является $y = x^{-3}$ или $y = \frac{1}{x^3}$.
1. Построим график базовой функции $y = \frac{1}{x^3}$. Это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Она имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ и горизонтальную асимптоту $y = 0$. Функция нечетная, симметрична относительно начала координат. Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, -1)$, $(2, 1/8)$, $(-2, -1/8)$.
2. График функции $y = (x - 1)^{-3}$ получается из графика $y = x^{-3}$ путем сдвига (параллельного переноса) вправо вдоль оси Ox на 1 единицу.
В результате этого преобразования:
- Вертикальная асимптота смещается вправо на 1 и становится $x = 1$.
- Горизонтальная асимптота $y = 0$ остается на месте.
- Все точки графика смещаются на 1 вправо. Например, точка $(1, 1)$ переходит в точку $(2, 1)$, а точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(0, -1)$.
Ответ: График функции $y = x^{-3}$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Вертикальная асимптота $x=1$, горизонтальная асимптота $y=0$.

2) $y = |x^{-3}|$;
Данная функция может быть записана в виде $y = \left|\frac{1}{x^3}\right|$.
Для построения этого графика также начнем с базовой функции $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.
1. График функции $y = x^{-3}$ расположен в I и III четвертях.
2. Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что вся часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), должна быть симметрично отражена относительно оси Ox, а часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $y \ge 0$), остается без изменений.
- Часть графика $y = x^{-3}$ в I четверти (где $x > 0$ и $y > 0$) остается на своем месте.
- Часть графика в III четверти (где $x < 0$ и $y < 0$) симметрично отражается относительно оси Ox и теперь будет располагаться во II четверти.
В результате обе ветви графика будут находиться в верхней полуплоскости (I и II четверти). Асимптоты остаются прежними: $x=0$ и $y=0$. Функция является четной, так как $y(-x) = |(-x)^{-3}| = |-x^{-3}| = |x^{-3}| = y(x)$.
Ответ: График функции $y = x^{-3}$, у которого часть, лежащая в III четверти, симметрично отражена относительно оси Ox во II четверть. Обе ветви графика находятся в верхней полуплоскости.

3) $y = |x - 1|^{-3}$.
Данная функция может быть записана в виде $y = \frac{1}{|x - 1|^3}$.
Для построения этого графика можно использовать результаты предыдущих пунктов. Заметим, что $|x - 1|^{-3} = |(x - 1)^{-3}|$. Это означает, что мы можем построить график функции из пункта 1, а затем применить к нему преобразование модуля, как в пункте 2.
1. Берем график функции $y = (x - 1)^{-3}$ из пункта 1. Этот график имеет ветви в областях, аналогичных I и III четвертям, но смещенных на 1 вправо. Вертикальная асимптота $x = 1$. Часть графика при $x > 1$ находится выше оси Ox, а часть при $x < 1$ — ниже.
2. Применяем преобразование $y = |f(x)|$: часть графика, лежащую ниже оси Ox (то есть, при $x < 1$), симметрично отражаем относительно оси Ox.
- Ветвь графика при $x > 1$ остается на месте.
- Ветвь графика при $x < 1$ отражается вверх.
В итоге обе ветви графика будут находиться в верхней полуплоскости, симметрично относительно вертикальной асимптоты $x=1$.
Альтернативный способ: взять график из пункта 2 ($y = |x^{-3}|$) и сдвинуть его на 1 единицу вправо.
Ответ: График функции $y = (x-1)^{-3}$, у которого часть, лежащая ниже оси Ox (при $x < 1$), симметрично отражена относительно оси Ox. Обе ветви графика находятся в верхней полуплоскости и имеют вертикальную асимптоту $x=1$.

27. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[3]{x-2} - 2$;

2) $y = \sqrt[3]{|x-1|}$;

3) $y = \sqrt[4]{|x| + 1}$;

4) $y = |\sqrt[4]{x+2} - 2|$.

1) $y = \sqrt[3]{x-2} - 2$
Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графиков, взяв за основу график функции $y = \sqrt[3]{x}$.
1. Строим базовый график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это кубический корень, график которого проходит через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).
2. Преобразуем его в график функции $y = \sqrt[3]{x-2}$. Это сдвиг базового графика на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Теперь "центр" графика (точка перегиба) находится в точке (2, 0).
3. Преобразуем полученный график в $y = \sqrt[3]{x-2} - 2$. Это сдвиг графика $y = \sqrt[3]{x-2}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Точка перегиба смещается в (2, -2).
Ключевые точки для построения:

• Точка перегиба: (2, -2).
• Пересечение с осью Oy (x=0): $y = \sqrt[3]{0-2} - 2 = \sqrt[3]{-2} - 2 \approx -1.26 - 2 = -3.26$. Точка $(0, -3.26)$.
• Пересечение с осью Ox (y=0): $0 = \sqrt[3]{x-2} - 2 \Rightarrow \sqrt[3]{x-2} = 2 \Rightarrow x-2 = 8 \Rightarrow x=10$. Точка (10, 0).
• Дополнительная точка: при x=3, $y = \sqrt[3]{3-2} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка (3, -1).
• Дополнительная точка: при x=1, $y = \sqrt[3]{1-2} - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка (1, -3).

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x-2} - 2$ является графиком функции $y=\sqrt[3]{x}$, смещенным на 2 единицы вправо и на 2 единицы вниз.

2) $y = \sqrt[3]{|x-1|}$
Построение этого графика также основано на преобразованиях базового графика $y = \sqrt[3]{x}$.
1. Сначала рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{x-1}$. Её график получается сдвигом графика $y = \sqrt[3]{x}$ на 1 единицу вправо.
2. Теперь применим модуль к аргументу: $y = \sqrt[3]{|x-1|}$. Это преобразование означает, что:

• Для $x \ge 1$, где $x-1 \ge 0$, график совпадает с $y = \sqrt[3]{x-1}$.
• Для $x < 1$, где $x-1 < 0$, часть графика $y = \sqrt[3]{x-1}$ (которая находилась бы левее прямой $x=1$) отбрасывается, а вместо нее строится зеркальное отражение правой части ($x \ge 1$) относительно вертикальной прямой $x=1$.

В результате график становится симметричным относительно прямой $x=1$ и имеет "клюв" (точку излома) в точке (1, 0).
Ключевые точки для построения:

• Точка излома (вершина): (1, 0).
• При x=2, $y = \sqrt[3]{|2-1|} = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка (2, 1).
• Из-за симметрии, при x=0, $y = \sqrt[3]{|0-1|} = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка (0, 1).
• При x=9, $y = \sqrt[3]{|9-1|} = \sqrt[3]{8} = 2$. Точка (9, 2).
• Из-за симметрии, при x=-7, $y = \sqrt[3]{|-7-1|} = \sqrt[3]{8} = 2$. Точка (-7, 2).

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{|x-1|}$ симметричен относительно прямой $x=1$, имеет точку излома в (1,0) и состоит из двух ветвей, идущих вверх.

3) $y = \sqrt[4]{|x|} + 1$
Базовой функцией является $y = \sqrt[4]{x}$, которая определена для $x \ge 0$.
1. Строим график функции $y = \sqrt[4]{|x|}$. Так как под корнем стоит $|x|$, функция становится чётной и её область определения расширяется до всех действительных чисел. График для $x \ge 0$ совпадает с графиком $y = \sqrt[4]{x}$, а для $x < 0$ он является зеркальным отражением части для $x > 0$ относительно оси Oy. График имеет точку излома в (0, 0).
2. Далее строим график $y = \sqrt[4]{|x|} + 1$. Он получается из предыдущего графика сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Точка излома смещается в (0, 1).
Ключевые точки для построения:

• Точка излома (минимум функции): (0, 1).
• При x=1, $y = \sqrt[4]{|1|} + 1 = 1+1=2$. Точка (1, 2).
• При x=-1, $y = \sqrt[4]{|-1|} + 1 = 1+1=2$. Точка (-1, 2).
• При x=16, $y = \sqrt[4]{|16|} + 1 = 2+1=3$. Точка (16, 3).
• При x=-16, $y = \sqrt[4]{|-16|} + 1 = 2+1=3$. Точка (-16, 3).

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{|x|} + 1$ симметричен относительно оси Oy, имеет точку минимума (излом) в точке (0,1) и представляет собой график $y = \sqrt[4]{x}$, отраженный относительно оси Oy и смещенный на 1 единицу вверх.

4) $y = |\sqrt[4]{x+2} - 2|$
Для построения этого графика выполним последовательность преобразований.
1. Построим сначала график вспомогательной функции $g(x) = \sqrt[4]{x+2} - 2$. Область определения: $x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$.

• График $y=\sqrt[4]{x}$ сдвигаем на 2 единицы влево, получаем $y=\sqrt[4]{x+2}$. Начальная точка (0,0) переходит в (-2,0).
• Затем сдвигаем график на 2 единицы вниз, получаем $g(x) = \sqrt[4]{x+2} - 2$. Начальная точка переходит в (-2, -2).

2. Теперь строим график исходной функции $y = |g(x)| = |\sqrt[4]{x+2} - 2|$. Это означает, что вся часть графика $g(x)$, которая находится ниже оси Ox, зеркально отражается вверх относительно оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.

• Найдем точку пересечения графика $g(x)$ с осью Ox: $\sqrt[4]{x+2} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt[4]{x+2} = 2 \Rightarrow x+2=16 \Rightarrow x=14$. Точка (14, 0).
• Начальная точка графика $g(x)$ была (-2, -2). После взятия модуля по $y$ она станет (-2, |-2|) = (-2, 2).
• Вся часть графика от $x=-2$ до $x=14$, которая была под осью, теперь будет над осью. Точка (14, 0) является точкой излома.

Ключевые точки для построения:

• Начальная точка: (-2, 2).
• Точка излома на оси Ox: (14, 0).
• Пересечение с осью Oy (x=0): $y = |\sqrt[4]{0+2} - 2| = |\sqrt[4]{2}-2| \approx |1.19 - 2| = |-0.81| = 0.81$. Точка (0, 0.81).
• Дополнительная точка: при x=-1, $y = |\sqrt[4]{-1+2} - 2| = |1-2| = 1$. Точка (-1, 1).

Ответ: График функции $y = |\sqrt[4]{x+2} - 2|$ определен при $x \ge -2$, начинается в точке (-2, 2), убывает до точки (14, 0) на оси Ox, а затем возрастает.

28. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на промежутке:

1) $[1; 2];$

2) $[-1; 1];$

3) $(-\infty; -1].$

Дана функция $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$. На промежутке $[1; 2]$ переменная $x$ принимает только положительные значения, поэтому $|x| = x$. Таким образом, функция на этом промежутке имеет вид $f(x) = \sqrt[4]{x}$.

Функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ является возрастающей на всей своей области определения, включая промежуток $[1; 2]$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в его левой границе, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.

Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(2) = \sqrt[4]{2}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $1$, наибольшее значение равно $\sqrt[4]{2}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на промежутке $[-1; 1]$.

Функция является четной, так как $f(-x) = \sqrt[4]{|-x|} = \sqrt[4]{|x|} = f(x)$.

При $x \ge 0$, функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ возрастает. При $x < 0$, функция $f(x) = \sqrt[4]{-x}$ убывает.

Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает своего глобального минимума. Так как точка $x=0$ принадлежит промежутку $[-1; 1]$, наименьшее значение функции на этом промежутке равно значению в этой точке.

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(0) = \sqrt[4]{0} = 0$.

Наибольшее значение на отрезке достигается на его концах, так как на интервале $(-1, 1)$ нет точек локального максимума. Вычислим значения функции в точках $x=-1$ и $x=1$.

$f(-1) = \sqrt[4]{|-1|} = \sqrt[4]{1} = 1$.

$f(1) = \sqrt[4]{|1|} = \sqrt[4]{1} = 1$.

Таким образом, наибольшее значение равно $1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $0$, наибольшее значение равно $1$.

На промежутке $(-\infty; -1]$ переменная $x$ принимает только отрицательные значения, поэтому $|x| = -x$. Функция на этом промежутке имеет вид $f(x) = \sqrt[4]{-x}$.

Эта функция является убывающей на промежутке $(-\infty; 0]$, а значит и на промежутке $(-\infty; -1]$. Это означает, что для любых $x_1, x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Следовательно, наименьшее значение на промежутке $(-\infty; -1]$ функция принимает в его крайней правой точке, то есть при $x = -1$.

Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-1) = \sqrt[4]{|-1|} = 1$.

Так как промежуток неограничен слева, рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[4]{|x|} = +\infty$.

Поскольку функция не ограничена сверху на данном промежутке, наибольшего значения у неё не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно $1$, наибольшего значения не существует.

29. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра $a$:

1) $\sqrt[3]{x} = a - x;$

2) $\sqrt[4]{x} = a - x?$

1)

Перепишем данное уравнение в виде $\sqrt[3]{x} + x = a$. Для определения количества корней воспользуемся графическим методом. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $f(x) = \sqrt[3]{x} + x$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Исследуем функцию $f(x) = \sqrt[3]{x} + x$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции для анализа монотонности: $f'(x) = (\sqrt[3]{x} + x)' = (x^{1/3} + x)' = \frac{1}{3}x^{-2/3} + 1 = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + 1$.

3. Для любого $x \neq 0$, выражение $x^2$ положительно, а значит и $\sqrt[3]{x^2} > 0$. Следовательно, $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} > 0$. Тогда производная $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + 1 > 1 > 0$ для всех $x \neq 0$. Так как производная функции положительна на всей области определения (кроме точки $x=0$, где она не определена, но функция непрерывна), функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$.

4. Найдем область значений функции $f(x)$. Поскольку функция непрерывна и строго возрастает, найдем ее пределы на бесконечности: $\lim_{x\to+\infty} (\sqrt[3]{x} + x) = +\infty$ $\lim_{x\to-\infty} (\sqrt[3]{x} + x) = -\infty$ Следовательно, область значений функции $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

Так как функция $f(x)$ строго монотонно возрастает и ее область значений — все действительные числа, то для любого значения параметра $a$ горизонтальная прямая $y=a$ пересечет график функции $y=f(x)$ ровно один раз. Это означает, что уравнение имеет единственный корень при любом значении $a$.

Ответ: при любом значении $a$ уравнение имеет один корень.

2)

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[4]{x} + x = a$. Как и в предыдущем пункте, решим задачу графически, исследовав количество пересечений графика функции $g(x) = \sqrt[4]{x} + x$ и прямой $y = a$.

Исследуем функцию $g(x) = \sqrt[4]{x} + x$.

1. Область определения функции $g(x)$ определяется условием существования корня четной степени: $x \ge 0$. Таким образом, $D(g) = [0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $g'(x) = (\sqrt[4]{x} + x)' = (x^{1/4} + x)' = \frac{1}{4}x^{-3/4} + 1 = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} + 1$.

3. Для любого $x > 0$, выражение $\sqrt[4]{x^3} > 0$, поэтому $\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} > 0$. Значит, производная $g'(x) > 1 > 0$ для всех $x > 0$. Следовательно, функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.

4. Найдем область значений функции $g(x)$. Так как функция строго возрастает, ее наименьшее значение достигается в левой граничной точке области определения, то есть при $x=0$: $g_{min} = g(0) = \sqrt[4]{0} + 0 = 0$. При $x \to +\infty$, $g(x) \to +\infty$. Следовательно, область значений функции $E(g) = [0, +\infty)$.

Теперь определим количество корней уравнения $g(x) = a$ в зависимости от значения параметра $a$. Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда значение $a$ принадлежит области значений функции $g(x)$.

- Если $a < 0$, то $a$ не принадлежит области значений $E(g) = [0, +\infty)$. Прямая $y=a$ не пересекает график функции $y=g(x)$, поэтому уравнение не имеет корней.

- Если $a \ge 0$, то $a$ принадлежит области значений $E(g)$. Так как функция $g(x)$ строго возрастает на своей области определения, она принимает каждое значение из своей области значений ровно один раз. Следовательно, прямая $y=a$ пересекает график функции $y=g(x)$ ровно в одной точке, и уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a < 0$, корней нет; если $a \ge 0$, один корень.

30. Упростите выражение:

1) $\sqrt[8]{(\sqrt{5}-2)^4}$;

2) $\sqrt[10]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}$;

3) $\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3}$;

4) $\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[8]{(\sqrt{5}-2)^4}$ воспользуемся свойством корней $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{|a|^m}$ при четном $k$.
В данном случае показатель корня $n=8=2 \cdot 4$, а показатель степени $m=4=1 \cdot 4$. Мы можем представить выражение как $\sqrt[2 \cdot 4]{(\sqrt{5}-2)^{1 \cdot 4}}$.
Здесь $n=2$, $m=1$, $k=4$. Так как $k=4$ — четное число, то выражение равно $\sqrt[2]{|\sqrt{5}-2|^1} = \sqrt{|\sqrt{5}-2|}$.
Теперь определим знак выражения под модулем: $\sqrt{5}-2$. Сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4}$, следовательно, $\sqrt{5} > 2$. Значит, $\sqrt{5}-2 > 0$.
Поскольку выражение под модулем положительно, то $|\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$.
Таким образом, итоговое выражение равно $\sqrt{\sqrt{5}-2}$.
Ответ: $\sqrt{\sqrt{5}-2}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[10]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}$ воспользуемся свойством корней $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{|a|^m}$ при четном $k$.
Представим показатель корня $10$ как $5 \cdot 2$ и показатель степени $2$ как $1 \cdot 2$. Выражение примет вид $\sqrt[5 \cdot 2]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^{1 \cdot 2}}$.
Здесь $n=5$, $m=1$, $k=2$. Так как $k=2$ — четное число, то выражение равно $\sqrt[5]{|\sqrt{3}-\sqrt{5}|}$.
Определим знак выражения под модулем: $\sqrt{3}-\sqrt{5}$. Сравним $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Так как $3 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Значит, разность $\sqrt{3}-\sqrt{5}$ отрицательна.
По определению модуля, $|\sqrt{3}-\sqrt{5}| = -(\sqrt{3}-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-\sqrt{3}$.
Таким образом, итоговое выражение равно $\sqrt[5]{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.
Ответ: $\sqrt[5]{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

3) Для упрощения выражения $\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3}$ воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n/d]{a^{m/d}}$, где $d$ — общий делитель $n$ и $m$.
Наибольший общий делитель для показателей корня (12) и степени (3) равен 3. Прежде чем сокращать, необходимо проверить знак основания степени $\sqrt{11}-3$, так как корень четной степени (12) определен только для неотрицательных подкоренных выражений.
Сравним $\sqrt{11}$ и $3$. Для этого сравним их квадраты: $(\sqrt{11})^2=11$ и $3^2=9$. Так как $11 > 9$, то $\sqrt{11} > 3$, и, следовательно, $\sqrt{11}-3 > 0$.
Поскольку основание степени положительно, мы можем безопасно сократить показатели:
$\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3} = \sqrt[12/3]{(\sqrt{11}-3)^{3/3}} = \sqrt[4]{\sqrt{11}-3}$.
Ответ: $\sqrt[4]{\sqrt{11}-3}$

4) Для упрощения выражения $\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3}$ воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n/d]{a^{m/d}}$, где $d$ — общий делитель $n$ и $m$.
Показатель корня $15$ является нечетным числом, поэтому подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Мы можем сокращать показатели без дополнительных проверок знака.
Наибольший общий делитель для показателей корня (15) и степени (3) равен 3.
$\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3} = \sqrt[15/3]{(\sqrt{7}-3)^{3/3}} = \sqrt[5]{\sqrt{7}-3}$.
(Для информации, проверим знак выражения: сравним $\sqrt{7}$ и $3$. Квадраты: $(\sqrt{7})^2=7$ и $3^2=9$. Так как $7 < 9$, то $\sqrt{7} < 3$, значит $\sqrt{7}-3 < 0$. Корень пятой степени из отрицательного числа является отрицательным числом).
Ответ: $\sqrt[5]{\sqrt{7}-3}$

31. Найдите значение выражения $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{6}} \cdot \sqrt[6]{9 - 6\sqrt{2} - \sqrt[6]{18}}}{\sqrt[6]{2} - 1}$

Для нахождения значения выражения выполним следующие преобразования. В исходном выражении $ \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{6}} \cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt{2}-\sqrt[6]{18}}}{\sqrt[6]{2}-1} $, скорее всего, допущена опечатка, так как наличие корня $ \sqrt[6]{18} $ под знаком другого корня делает выражение крайне сложным. Наиболее вероятной является следующая форма выражения, которую мы и будем решать:

$ \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{6}} \cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt{2}} - \sqrt[6]{18}}{\sqrt[6]{2}-1} $

Упростим числитель выражения по частям. Сначала преобразуем второй множитель в числителе.

Подкоренное выражение $ 9-6\sqrt{2} $ можно представить в виде полного квадрата, используя формулу $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $. Для этого представим $ 6\sqrt{2} $ как $ 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2\sqrt{18} $.

$ 9-6\sqrt{2} = 9-2\sqrt{18} $. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 9, а произведение равно 18. Эти числа — 6 и 3. Таким образом, $ 9-2\sqrt{18} = (\sqrt{6}-\sqrt{3})^2 $.

Следовательно, второй множитель равен:

$ \sqrt[6]{9-6\sqrt{2}} = \sqrt[6]{(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2} = (\sqrt{6}-\sqrt{3})^{2/6} = (\sqrt{6}-\sqrt{3})^{1/3} = \sqrt[3]{\sqrt{6}-\sqrt{3}} $.

Теперь найдем произведение первых двух членов в числителе:

$ \sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{6}} \cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{6}+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{6}-\sqrt{3}} $.

Используя свойство $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $, получаем:

$ \sqrt[3]{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3})} = \sqrt[3]{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt[3]{6-3} = \sqrt[3]{3} $.

После этого числитель принимает вид $ \sqrt[3]{3} - \sqrt[6]{18} $.

Чтобы выполнить вычитание, приведем корни к одинаковому показателю 6:

$ \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} $.

Таким образом, числитель равен $ \sqrt[6]{9} - \sqrt[6]{18} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt[6]{9} $ за скобки:

$ \sqrt[6]{9}(1 - \sqrt[6]{\frac{18}{9}}) = \sqrt[6]{9}(1-\sqrt[6]{2}) $.

Теперь подставим полученное выражение для числителя в исходную дробь:

$ \frac{\sqrt[6]{9}(1-\sqrt[6]{2})}{\sqrt[6]{2}-1} = \frac{-\sqrt[6]{9}(\sqrt[6]{2}-1)}{\sqrt[6]{2}-1} $.

Сокращаем дробь на $ (\sqrt[6]{2}-1) $ и получаем $ -\sqrt[6]{9} $.

Упростим результат:

$ -\sqrt[6]{9} = -\sqrt[6]{3^2} = -3^{2/6} = -3^{1/3} = -\sqrt[3]{3} $.

Ответ: $ -\sqrt[3]{3} $.

32. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^3}$;

2) $y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2.$

1) $y = \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^3}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Поскольку корень четной степени (4-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Для $\sqrt[4]{x}$ необходимо, чтобы $x \ge 0$.
Для $\sqrt[4]{x^3}$ необходимо, чтобы $x^3 \ge 0$, что также означает $x \ge 0$.
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

Теперь упростим выражение функции, используя свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$y = \sqrt[4]{x \cdot x^3} = \sqrt[4]{x^4}$

Так как корень четной степени, то $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
Учитывая нашу область определения $x \ge 0$, имеем $|x| = x$.
Таким образом, функция принимает вид $y = x$.

Графиком функции $y = x$ при $x \ge 0$ является луч, выходящий из начала координат (точки (0, 0)) и проходящий через первую координатную четверть под углом 45 градусов к оси абсцисс.

Ответ: График функции является лучом $y=x$ с началом в точке (0, 0), расположенным в первой координатной четверти.

2) $y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
$\sqrt[6]{x^6} \ne 0 \implies x^6 \ne 0 \implies x \ne 0$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Упростим выражение в знаменателе. Так как корень четной степени (6-й), то $\sqrt[6]{x^6} = |x|$.
Функция принимает вид: $y = \frac{x^3}{|x|} + 2$.

Рассмотрим два случая, чтобы раскрыть модуль:

а) Если $x > 0$, то $|x| = x$.
Функция становится: $y = \frac{x^3}{x} + 2 = x^2 + 2$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0, 2). Для нашего графика мы берем только правую ветвь этой параболы (при $x > 0$).

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Функция становится: $y = \frac{x^3}{-x} + 2 = -x^2 + 2$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 2). Для нашего графика мы берем только левую ветвь этой параболы (при $x < 0$).

Итак, график исходной функции состоит из двух частей:

• при $x > 0$ — это часть параболы $y = x^2 + 2$;
• при $x < 0$ — это часть параболы $y = -x^2 + 2$.

Точка с координатой $x=0$ не входит в область определения, поэтому точка (0, 2) на графике будет "выколотой" (пустой).

Ответ: График функции состоит из двух ветвей парабол: правой ветви параболы $y = x^2 + 2$ для $x > 0$ и левой ветви параболы $y = -x^2 + 2$ для $x < 0$. Точка (0, 2) является выколотой.

33. Упростите выражение:

1) $\left( \frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}} \right) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1};$

2) $\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \cdot \left( \frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9} - \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27} \right).$

1)

Упростим выражение $ \left( \frac{1}{\sqrt[4]{a} - 1} - \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}} \right) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2\sqrt[4]{a} + 1} $.

Для удобства введем замену: пусть $x = \sqrt[4]{a}$. Тогда $x^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = \sqrt{a}$.

Выражение примет вид:

$ \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^2} \right) : \frac{x^2}{x^2 - 2x + 1} $.

1. Выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $x^2(x - 1)$:

$ \frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^2} = \frac{1 \cdot x^2 - (x + 1)(x - 1)}{x^2(x - 1)} = \frac{x^2 - (x^2 - 1^2)}{x^2(x - 1)} = \frac{x^2 - x^2 + 1}{x^2(x - 1)} = \frac{1}{x^2(x - 1)} $.

2. Упростим делитель. Знаменатель $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности $(x - 1)^2$.

$ \frac{x^2}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x^2}{(x - 1)^2} $.

3. Выполним деление:

$ \frac{1}{x^2(x - 1)} : \frac{x^2}{(x - 1)^2} = \frac{1}{x^2(x - 1)} \cdot \frac{(x - 1)^2}{x^2} = \frac{(x - 1)^2}{x^2 \cdot x^2 \cdot (x - 1)} = \frac{(x-1)^2}{x^4(x-1)} $.

Сократим дробь на общий множитель $(x-1)$:

$ \frac{x - 1}{x^4} $.

4. Вернемся к исходной переменной, подставив $x = \sqrt[4]{a}$:

$ \frac{\sqrt[4]{a} - 1}{(\sqrt[4]{a})^4} = \frac{\sqrt[4]{a} - 1}{a} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt[4]{a} - 1}{a} $

2)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} \cdot \left( \frac{\sqrt[6]{a} - 3}{\sqrt[3]{a} - 3\sqrt[6]{a} + 9} - \frac{\sqrt[6]{ab} - 9}{\sqrt{a} + 27} \right) $.

Для удобства введем замену: пусть $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$. Тогда $\sqrt[3]{a} = x^2$, $\sqrt{a} = x^3$, $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b} = xy$.

Выражение примет вид:

$ \frac{x^3 + 27}{x - y} \cdot \left( \frac{x - 3}{x^2 - 3x + 9} - \frac{xy - 9}{x^3 + 27} \right) $.

1. Упростим выражение в скобках. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

Общий знаменатель в скобках будет $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

$ \frac{x - 3}{x^2 - 3x + 9} - \frac{xy - 9}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{(x - 3)(x + 3) - (xy - 9)}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ (x^2 - 9) - (xy - 9) = x^2 - 9 - xy + 9 = x^2 - xy = x(x-y) $.

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{x(x-y)}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{x(x-y)}{x^3 + 27} $.

2. Теперь выполним умножение:

$ \frac{x^3 + 27}{x - y} \cdot \frac{x(x - y)}{x^3 + 27} $.

Сократим одинаковые множители $(x^3 + 27)$ и $(x - y)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{x^3 + 27}}{\cancel{x - y}} \cdot \frac{x(\cancel{x - y})}{\cancel{x^3 + 27}} = x $.

3. Вернемся к исходной переменной, подставив $x = \sqrt[6]{a}$:

Результат равен $\sqrt[6]{a}$.

Ответ: $ \sqrt[6]{a} $

34. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{10000^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{100^{0,3} \cdot 1000^{\frac{1}{6}}}$;

2) $\left(\frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{5}{6}}}{21^{-1} \cdot 5^3}\right)^{-6}$.

1) Преобразуем все числа в выражении к основанию 10: $10000 = 10^4$; $100 = 10^2$; $1000 = 10^3$.
Подставим эти значения в исходное выражение: $\frac{10000^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{100^{0,3} \cdot 1000^{\frac{1}{6}}} = \frac{(10^4)^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{(10^2)^{0,3} \cdot (10^3)^{\frac{1}{6}}}$.
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $\frac{10^{4 \cdot 0,4} \cdot 10^{0,5}}{10^{2 \cdot 0,3} \cdot 10^{3 \cdot \frac{1}{6}}} = \frac{10^{1,6} \cdot 10^{0,5}}{10^{0,6} \cdot 10^{0,5}}$.
Сократим общий множитель $10^{0,5}$ в числителе и знаменателе: $\frac{10^{1,6}}{10^{0,6}}$.
Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $10^{1,6 - 0,6} = 10^1 = 10$.
Ответ: 10

2) Рассмотрим выражение $\left( \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{5}{6}}}{21^{-1} \cdot 5^{\frac{1}{3}}} \right)^{-6}$.
Сначала упростим числитель, используя свойство $a^m \cdot b^m = (ab)^m$: $3^{\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{5}{6}} = (3 \cdot 7)^{\frac{5}{6}} = 21^{\frac{5}{6}}$.
Теперь выражение выглядит так: $\left( \frac{21^{\frac{5}{6}}}{21^{-1} \cdot 5^{\frac{1}{3}}} \right)^{-6}$.
Упростим частное степеней с основанием 21, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{21^{\frac{5}{6}}}{21^{-1}} = 21^{\frac{5}{6} - (-1)} = 21^{\frac{5}{6} + 1} = 21^{\frac{5+6}{6}} = 21^{\frac{11}{6}}$.
Подставим обратно в выражение: $\left( \frac{21^{\frac{11}{6}}}{5^{\frac{1}{3}}} \right)^{-6}$.
Применим свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, а затем $(a^m)^n = a^{mn}$: $\frac{(21^{\frac{11}{6}})^{-6}}{(5^{\frac{1}{3}})^{-6}} = \frac{21^{\frac{11}{6} \cdot (-6)}}{5^{\frac{1}{3} \cdot (-6)}} = \frac{21^{-11}}{5^{-2}}$.
Используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $\frac{5^2}{21^{11}} = \frac{25}{21^{11}}$.
Ответ: $\frac{25}{21^{11}}$