Номер 29, страница 407 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра $a$:

1) $\sqrt[3]{x} = a - x;$

2) $\sqrt[4]{x} = a - x?$

1)

Перепишем данное уравнение в виде $\sqrt[3]{x} + x = a$. Для определения количества корней воспользуемся графическим методом. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $f(x) = \sqrt[3]{x} + x$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Исследуем функцию $f(x) = \sqrt[3]{x} + x$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции для анализа монотонности: $f'(x) = (\sqrt[3]{x} + x)' = (x^{1/3} + x)' = \frac{1}{3}x^{-2/3} + 1 = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + 1$.

3. Для любого $x \neq 0$, выражение $x^2$ положительно, а значит и $\sqrt[3]{x^2} > 0$. Следовательно, $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} > 0$. Тогда производная $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + 1 > 1 > 0$ для всех $x \neq 0$. Так как производная функции положительна на всей области определения (кроме точки $x=0$, где она не определена, но функция непрерывна), функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$.

4. Найдем область значений функции $f(x)$. Поскольку функция непрерывна и строго возрастает, найдем ее пределы на бесконечности: $\lim_{x\to+\infty} (\sqrt[3]{x} + x) = +\infty$ $\lim_{x\to-\infty} (\sqrt[3]{x} + x) = -\infty$ Следовательно, область значений функции $E(f) = (-\infty, +\infty)$.

Так как функция $f(x)$ строго монотонно возрастает и ее область значений — все действительные числа, то для любого значения параметра $a$ горизонтальная прямая $y=a$ пересечет график функции $y=f(x)$ ровно один раз. Это означает, что уравнение имеет единственный корень при любом значении $a$.

Ответ: при любом значении $a$ уравнение имеет один корень.

2)

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[4]{x} + x = a$. Как и в предыдущем пункте, решим задачу графически, исследовав количество пересечений графика функции $g(x) = \sqrt[4]{x} + x$ и прямой $y = a$.

Исследуем функцию $g(x) = \sqrt[4]{x} + x$.

1. Область определения функции $g(x)$ определяется условием существования корня четной степени: $x \ge 0$. Таким образом, $D(g) = [0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $g'(x) = (\sqrt[4]{x} + x)' = (x^{1/4} + x)' = \frac{1}{4}x^{-3/4} + 1 = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} + 1$.

3. Для любого $x > 0$, выражение $\sqrt[4]{x^3} > 0$, поэтому $\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} > 0$. Значит, производная $g'(x) > 1 > 0$ для всех $x > 0$. Следовательно, функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.

4. Найдем область значений функции $g(x)$. Так как функция строго возрастает, ее наименьшее значение достигается в левой граничной точке области определения, то есть при $x=0$: $g_{min} = g(0) = \sqrt[4]{0} + 0 = 0$. При $x \to +\infty$, $g(x) \to +\infty$. Следовательно, область значений функции $E(g) = [0, +\infty)$.

Теперь определим количество корней уравнения $g(x) = a$ в зависимости от значения параметра $a$. Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда значение $a$ принадлежит области значений функции $g(x)$.

- Если $a < 0$, то $a$ не принадлежит области значений $E(g) = [0, +\infty)$. Прямая $y=a$ не пересекает график функции $y=g(x)$, поэтому уравнение не имеет корней.

- Если $a \ge 0$, то $a$ принадлежит области значений $E(g)$. Так как функция $g(x)$ строго возрастает на своей области определения, она принимает каждое значение из своей области значений ровно один раз. Следовательно, прямая $y=a$ пересекает график функции $y=g(x)$ ровно в одной точке, и уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a < 0$, корней нет; если $a \ge 0$, один корень.