Номер 35, страница 408 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35. Упростите выражение:

1) $\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{4}{7}}b^{\frac{4}{7}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{6}{7}}b^{\frac{5}{7}} - a^{\frac{5}{7}}b^{\frac{6}{7}}} \cdot \frac{a - a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}$;

2) $\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}}} : \frac{a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}$;

3) $(1 - a^{\frac{1}{36}})(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}}) + \frac{4 - a^{\frac{1}{6}}}{2 - a^{\frac{1}{12}}}$;

4) $\frac{m^{\frac{4}{3}} - 27m^{\frac{1}{3}}n}{m^{\frac{2}{3}} + 3\sqrt[3]{mn} + 9n^{\frac{2}{3}}} : \left(1 - 3\sqrt[3]{\frac{n}{m}}\right) - \sqrt[3]{m^2}$.

1)

Упростим выражение: $ \frac{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{5}{6}} - a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{a - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}} $

Чтобы упростить работу с дробными показателями, введем замену. Наименьшее общее кратное знаменателей степеней (2, 4, 6, 3) равно 12. Пусть $x = a^{\frac{1}{12}}$ и $y = b^{\frac{1}{12}}$.

Тогда:

• $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{12}})^6 = x^6$, $a^{\frac{1}{4}} = x^3$, $b^{\frac{1}{4}} = y^3$, $b^{\frac{1}{2}} = y^6$
• $a^{\frac{7}{6}} = x^{14}$, $b^{\frac{5}{6}} = y^{10}$, $a^{\frac{5}{6}} = x^{10}$, $b^{\frac{7}{6}} = y^{14}$
• $a = x^{12}$, $a^{\frac{1}{3}} = x^4$, $b^{\frac{2}{3}} = y^8$

Перепишем части выражения с новыми переменными:

Числитель первой дроби: $x^6 + 2x^3y^3 + y^6 = (x^3 + y^3)^2$.

Знаменатель первой дроби: $x^{14}y^{10} - x^{10}y^{14} = x^{10}y^{10}(x^4 - y^4)$.

Числитель второй дроби: $x^{12} - x^4y^8 = x^4(x^8 - y^8) = x^4(x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$.

Знаменатель второй дроби: $x^3y^3 + y^6 = y^3(x^3 + y^3)$.

Теперь подставим эти выражения в исходное:

$ \frac{(x^3 + y^3)^2}{x^{10}y^{10}(x^4 - y^4)} \cdot \frac{x^4(x^4 - y^4)(x^4 + y^4)}{y^3(x^3 + y^3)} $

Сократим общие множители $(x^3 + y^3)$ и $(x^4 - y^4)$:

$ \frac{x^3 + y^3}{x^{10}y^{10}} \cdot \frac{x^4(x^4 + y^4)}{y^3} = \frac{x^4(x^3 + y^3)(x^4 + y^4)}{x^{10}y^{10}y^3} = \frac{(x^3 + y^3)(x^4 + y^4)}{x^6 y^{13}} $

Выполним обратную замену:

$x^3 = a^{\frac{3}{12}} = a^{\frac{1}{4}}$, $y^3 = b^{\frac{3}{12}} = b^{\frac{1}{4}}$

$x^4 = a^{\frac{4}{12}} = a^{\frac{1}{3}}$, $y^4 = b^{\frac{4}{12}} = b^{\frac{1}{3}}$

$x^6 = a^{\frac{6}{12}} = a^{\frac{1}{2}}$, $y^{13} = b^{\frac{13}{12}}$

Получаем:

$ \frac{(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{13}{12}}} $

Ответ: $ \frac{(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{13}{12}}} $

2)

Упростим выражение: $ \frac{\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}}}}{\frac{a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}} $

Деление дробей можно заменить умножением на обратную дробь:

$ \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{1}{3}}} $

Объединим числители и знаменатели:

$ \frac{(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})}{(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{1}{3}}} $

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(a^{\frac{3}{2}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2 = a^3 - b^3$.

Упростим знаменатель:

$(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}} = (a(a - b))^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{2}{3}}$.

Знаменатель целиком: $a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}}(a-b)^1 = a^{\frac{4}{3}}(a-b)$.

Подставим упрощенные части обратно в дробь:

$ \frac{a^3 - b^3}{a^{\frac{4}{3}}(a-b)} $

Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$ \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^{\frac{4}{3}}(a-b)} $

Сократим общий множитель $(a-b)$:

$ \frac{a^2+ab+b^2}{a^{\frac{4}{3}}} $

Ответ: $ \frac{a^2+ab+b^2}{a^{\frac{4}{3}}} $

3)

Упростим выражение: $ (1 - a^{\frac{1}{36}})(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}}) + \frac{4 - a^{\frac{1}{6}}}{2 - a^{\frac{1}{12}}} $

Рассмотрим первую часть выражения: $(1 - a^{\frac{1}{36}})(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}})$.

Пусть $x = a^{\frac{1}{36}}$, тогда $x^2 = (a^{\frac{1}{36}})^2 = a^{\frac{2}{36}} = a^{\frac{1}{18}}$. Выражение принимает вид $(1-x)(1+x+x^2)$, что является формулой разности кубов $1^3 - x^3$.

Таким образом, первая часть равна $1 - (a^{\frac{1}{36}})^3 = 1 - a^{\frac{3}{36}} = 1 - a^{\frac{1}{12}}$.

Рассмотрим вторую часть выражения: $\frac{4 - a^{\frac{1}{6}}}{2 - a^{\frac{1}{12}}}$.

Числитель $4 - a^{\frac{1}{6}}$ можно представить как разность квадратов, так как $a^{\frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{12}})^2$.

$4 - (a^{\frac{1}{12}})^2 = (2 - a^{\frac{1}{12}})(2 + a^{\frac{1}{12}})$.

Тогда дробь равна $\frac{(2 - a^{\frac{1}{12}})(2 + a^{\frac{1}{12}})}{2 - a^{\frac{1}{12}}} = 2 + a^{\frac{1}{12}}$.

Теперь сложим обе упрощенные части:

$(1 - a^{\frac{1}{12}}) + (2 + a^{\frac{1}{12}}) = 1 - a^{\frac{1}{12}} + 2 + a^{\frac{1}{12}} = 3$.

Ответ: $3$

4)

Упростим выражение: $ \frac{m^{\frac{4}{3}} - 27m^{\frac{1}{3}}n}{m^{\frac{2}{3}} + 3\sqrt[3]{mn} + 9n^{\frac{2}{3}}} : (1 - 3\sqrt[3]{\frac{n}{m}}) - \sqrt[3]{m^2} $

Сначала выполним деление. Упростим каждую часть выражения.

Числитель первой дроби: $m^{\frac{4}{3}} - 27m^{\frac{1}{3}}n = m^{\frac{1}{3}}(m - 27n)$.

Знаменатель первой дроби: $m^{\frac{2}{3}} + 3\sqrt[3]{mn} + 9n^{\frac{2}{3}} = m^{\frac{2}{3}} + 3m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 9n^{\frac{2}{3}}$.

Выражение в скобках: $1 - 3\sqrt[3]{\frac{n}{m}} = 1 - \frac{3n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}}} = \frac{m^{\frac{1}{3}} - 3n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}}}$.

Выполним деление:

$ \frac{m^{\frac{1}{3}}(m - 27n)}{m^{\frac{2}{3}} + 3m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 9n^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{m^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}} - 3n^{\frac{1}{3}}} $

Рассмотрим произведение знаменателя первой дроби и знаменателя второй дроби: $(m^{\frac{2}{3}} + 3m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 9n^{\frac{2}{3}})(m^{\frac{1}{3}} - 3n^{\frac{1}{3}})$.

Это формула разности кубов $(x^2+xy+y^2)(x-y) = x^3 - y^3$, где $x=m^{\frac{1}{3}}$ и $y=3n^{\frac{1}{3}}$.

Произведение равно $(m^{\frac{1}{3}})^3 - (3n^{\frac{1}{3}})^3 = m - 27n$.

Теперь выражение для деления выглядит так:

$ \frac{m^{\frac{1}{3}}(m - 27n) \cdot m^{\frac{1}{3}}}{m - 27n} $

Сократив $(m - 27n)$, получим: $m^{\frac{1}{3}} \cdot m^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{2}{3}}$.

Теперь вернемся к исходному выражению и вычтем последний член:

$m^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{m^2} = m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{2}{3}} = 0$.

Ответ: $0$