Номер 39, страница 408 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 - 5x + 16 - 3\sqrt{x^2 - 5x + 20} = 0;$

2) $x^2 + 4 - 5\sqrt{x^2 - 2} = 0.$

1) $x^2-5x+16-3\sqrt{x^2-5x+20}=0$

Заметим, что выражение $x^2-5x+16$ можно выразить через подкоренное выражение $x^2-5x+20$ следующим образом: $x^2-5x+16 = (x^2-5x+20) - 4$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(x^2-5x+20) - 4 - 3\sqrt{x^2-5x+20} = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2-5x+20}$. Поскольку значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

С новой переменной уравнение примет вид:

$t^2 - 4 - 3t = 0$

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Следовательно, корнями являются:

$t_1 = 4$

$t_2 = -1$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому является посторонним.

Выполним обратную замену для $t = 4$:

$\sqrt{x^2-5x+20} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2-5x+20 = 16$

$x^2-5x+4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Область допустимых значений исходного уравнения определяется условием $x^2-5x+20 \ge 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 25 - 80 = -55$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, то трехчлен $x^2-5x+20$ положителен при любых значениях $x$. Следовательно, найденные корни входят в область допустимых значений.

Ответ: $1; 4$.

2) $x^2+4-5\sqrt{x^2-2}=0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2-2 \ge 0$

$x^2 \ge 2$

$x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; \infty)$.

Преобразуем уравнение, выразив $x^2+4$ через подкоренное выражение $x^2-2$: $x^2+4 = (x^2-2)+6$.

Подставим это в уравнение:

$(x^2-2) + 6 - 5\sqrt{x^2-2} = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2-2}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

После замены уравнение примет вид:

$t^2 + 6 - 5t = 0$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 5, произведение равно 6. Корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = 3$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену для каждого из них.

Случай 1: $t = 2$.

$\sqrt{x^2-2} = 2$

Возводим обе части в квадрат:

$x^2-2 = 4$

$x^2 = 6$

$x = \pm\sqrt{6}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ: $(\pm\sqrt{6})^2 = 6 \ge 2$. Оба корня подходят.

Случай 2: $t = 3$.

$\sqrt{x^2-2} = 3$

Возводим обе части в квадрат:

$x^2-2 = 9$

$x^2 = 11$

$x = \pm\sqrt{11}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ: $(\pm\sqrt{11})^2 = 11 \ge 2$. Оба корня подходят.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm\sqrt{6}; \pm\sqrt{11}$.