Номер 38, страница 408 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$;

2) $\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} - 2\sqrt[3]{x - 2} - 3 = 0$.

1) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным, получаем $x \ge 0$.

Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$. Это позволяет нам сделать замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Учитывая ОДЗ, новая переменная должна быть неотрицательной, то есть $t \ge 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t^2 + t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = -1$
• Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = -6$

Подбором находим корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Теперь вернемся к условию $t \ge 0$.

• $t_1 = -3$ не удовлетворяет этому условию, следовательно, это посторонний корень.
• $t_2 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для найденного корня:

$\sqrt[4]{x} = 2$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x})^4 = 2^4$

$x = 16$

Найденное значение $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 \ge 0$).

Выполним проверку, подставив $x=16$ в исходное уравнение:

$\sqrt{16} + \sqrt[4]{16} - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$

$0 = 0$ (верно)

Ответ: $16$.

2) $\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} - 2\sqrt[3]{x - 2} - 3 = 0$

Так как корень кубический (нечетной степени), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничений на $x$ нет.

Упростим выражение под первым корнем. Заметим, что $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности: $(x-2)^2$.

Перепишем уравнение в новом виде:

$\sqrt[3]{(x-2)^2} - 2\sqrt[3]{x - 2} - 3 = 0$

Сделаем замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному. Пусть $y = \sqrt[3]{x - 2}$. Тогда $\sqrt[3]{(x-2)^2} = (\sqrt[3]{x-2})^2 = y^2$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = 2$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -3$

Отсюда корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней $y$.

Случай 1: $y = 3$

$\sqrt[3]{x - 2} = 3$

Возводим обе части в куб:

$(\sqrt[3]{x - 2})^3 = 3^3$

$x - 2 = 27$

$x_1 = 29$

Случай 2: $y = -1$

$\sqrt[3]{x - 2} = -1$

Возводим обе части в куб:

$(\sqrt[3]{x - 2})^3 = (-1)^3$

$x - 2 = -1$

$x_2 = 1$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; 29$.