Номер 32, страница 407 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^3}$;

2) $y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2.$

1) $y = \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^3}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Поскольку корень четной степени (4-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Для $\sqrt[4]{x}$ необходимо, чтобы $x \ge 0$.
Для $\sqrt[4]{x^3}$ необходимо, чтобы $x^3 \ge 0$, что также означает $x \ge 0$.
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

Теперь упростим выражение функции, используя свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$y = \sqrt[4]{x \cdot x^3} = \sqrt[4]{x^4}$

Так как корень четной степени, то $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
Учитывая нашу область определения $x \ge 0$, имеем $|x| = x$.
Таким образом, функция принимает вид $y = x$.

Графиком функции $y = x$ при $x \ge 0$ является луч, выходящий из начала координат (точки (0, 0)) и проходящий через первую координатную четверть под углом 45 градусов к оси абсцисс.

Ответ: График функции является лучом $y=x$ с началом в точке (0, 0), расположенным в первой координатной четверти.

2) $y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
$\sqrt[6]{x^6} \ne 0 \implies x^6 \ne 0 \implies x \ne 0$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Упростим выражение в знаменателе. Так как корень четной степени (6-й), то $\sqrt[6]{x^6} = |x|$.
Функция принимает вид: $y = \frac{x^3}{|x|} + 2$.

Рассмотрим два случая, чтобы раскрыть модуль:

а) Если $x > 0$, то $|x| = x$.
Функция становится: $y = \frac{x^3}{x} + 2 = x^2 + 2$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (0, 2). Для нашего графика мы берем только правую ветвь этой параболы (при $x > 0$).

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Функция становится: $y = \frac{x^3}{-x} + 2 = -x^2 + 2$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 2). Для нашего графика мы берем только левую ветвь этой параболы (при $x < 0$).

Итак, график исходной функции состоит из двух частей:

• при $x > 0$ — это часть параболы $y = x^2 + 2$;
• при $x < 0$ — это часть параболы $y = -x^2 + 2$.

Точка с координатой $x=0$ не входит в область определения, поэтому точка (0, 2) на графике будет "выколотой" (пустой).

Ответ: График функции состоит из двух ветвей парабол: правой ветви параболы $y = x^2 + 2$ для $x > 0$ и левой ветви параболы $y = -x^2 + 2$ для $x < 0$. Точка (0, 2) является выколотой.