Номер 30, страница 407 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

30. Упростите выражение:

1) $\sqrt[8]{(\sqrt{5}-2)^4}$;

2) $\sqrt[10]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}$;

3) $\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3}$;

4) $\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[8]{(\sqrt{5}-2)^4}$ воспользуемся свойством корней $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{|a|^m}$ при четном $k$.
В данном случае показатель корня $n=8=2 \cdot 4$, а показатель степени $m=4=1 \cdot 4$. Мы можем представить выражение как $\sqrt[2 \cdot 4]{(\sqrt{5}-2)^{1 \cdot 4}}$.
Здесь $n=2$, $m=1$, $k=4$. Так как $k=4$ — четное число, то выражение равно $\sqrt[2]{|\sqrt{5}-2|^1} = \sqrt{|\sqrt{5}-2|}$.
Теперь определим знак выражения под модулем: $\sqrt{5}-2$. Сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4}$, следовательно, $\sqrt{5} > 2$. Значит, $\sqrt{5}-2 > 0$.
Поскольку выражение под модулем положительно, то $|\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$.
Таким образом, итоговое выражение равно $\sqrt{\sqrt{5}-2}$.
Ответ: $\sqrt{\sqrt{5}-2}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[10]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}$ воспользуемся свойством корней $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{|a|^m}$ при четном $k$.
Представим показатель корня $10$ как $5 \cdot 2$ и показатель степени $2$ как $1 \cdot 2$. Выражение примет вид $\sqrt[5 \cdot 2]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^{1 \cdot 2}}$.
Здесь $n=5$, $m=1$, $k=2$. Так как $k=2$ — четное число, то выражение равно $\sqrt[5]{|\sqrt{3}-\sqrt{5}|}$.
Определим знак выражения под модулем: $\sqrt{3}-\sqrt{5}$. Сравним $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Так как $3 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Значит, разность $\sqrt{3}-\sqrt{5}$ отрицательна.
По определению модуля, $|\sqrt{3}-\sqrt{5}| = -(\sqrt{3}-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-\sqrt{3}$.
Таким образом, итоговое выражение равно $\sqrt[5]{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.
Ответ: $\sqrt[5]{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

3) Для упрощения выражения $\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3}$ воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n/d]{a^{m/d}}$, где $d$ — общий делитель $n$ и $m$.
Наибольший общий делитель для показателей корня (12) и степени (3) равен 3. Прежде чем сокращать, необходимо проверить знак основания степени $\sqrt{11}-3$, так как корень четной степени (12) определен только для неотрицательных подкоренных выражений.
Сравним $\sqrt{11}$ и $3$. Для этого сравним их квадраты: $(\sqrt{11})^2=11$ и $3^2=9$. Так как $11 > 9$, то $\sqrt{11} > 3$, и, следовательно, $\sqrt{11}-3 > 0$.
Поскольку основание степени положительно, мы можем безопасно сократить показатели:
$\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3} = \sqrt[12/3]{(\sqrt{11}-3)^{3/3}} = \sqrt[4]{\sqrt{11}-3}$.
Ответ: $\sqrt[4]{\sqrt{11}-3}$

4) Для упрощения выражения $\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3}$ воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n/d]{a^{m/d}}$, где $d$ — общий делитель $n$ и $m$.
Показатель корня $15$ является нечетным числом, поэтому подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Мы можем сокращать показатели без дополнительных проверок знака.
Наибольший общий делитель для показателей корня (15) и степени (3) равен 3.
$\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3} = \sqrt[15/3]{(\sqrt{7}-3)^{3/3}} = \sqrt[5]{\sqrt{7}-3}$.
(Для информации, проверим знак выражения: сравним $\sqrt{7}$ и $3$. Квадраты: $(\sqrt{7})^2=7$ и $3^2=9$. Так как $7 < 9$, то $\sqrt{7} < 3$, значит $\sqrt{7}-3 < 0$. Корень пятой степени из отрицательного числа является отрицательным числом).
Ответ: $\sqrt[5]{\sqrt{7}-3}$