Номер 33, страница 407 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33. Упростите выражение:

1) $\left( \frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}} \right) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1};$

2) $\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \cdot \left( \frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9} - \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27} \right).$

1)

Упростим выражение $ \left( \frac{1}{\sqrt[4]{a} - 1} - \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}} \right) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 2\sqrt[4]{a} + 1} $.

Для удобства введем замену: пусть $x = \sqrt[4]{a}$. Тогда $x^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = \sqrt{a}$.

Выражение примет вид:

$ \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^2} \right) : \frac{x^2}{x^2 - 2x + 1} $.

1. Выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $x^2(x - 1)$:

$ \frac{1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^2} = \frac{1 \cdot x^2 - (x + 1)(x - 1)}{x^2(x - 1)} = \frac{x^2 - (x^2 - 1^2)}{x^2(x - 1)} = \frac{x^2 - x^2 + 1}{x^2(x - 1)} = \frac{1}{x^2(x - 1)} $.

2. Упростим делитель. Знаменатель $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности $(x - 1)^2$.

$ \frac{x^2}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x^2}{(x - 1)^2} $.

3. Выполним деление:

$ \frac{1}{x^2(x - 1)} : \frac{x^2}{(x - 1)^2} = \frac{1}{x^2(x - 1)} \cdot \frac{(x - 1)^2}{x^2} = \frac{(x - 1)^2}{x^2 \cdot x^2 \cdot (x - 1)} = \frac{(x-1)^2}{x^4(x-1)} $.

Сократим дробь на общий множитель $(x-1)$:

$ \frac{x - 1}{x^4} $.

4. Вернемся к исходной переменной, подставив $x = \sqrt[4]{a}$:

$ \frac{\sqrt[4]{a} - 1}{(\sqrt[4]{a})^4} = \frac{\sqrt[4]{a} - 1}{a} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt[4]{a} - 1}{a} $

2)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} \cdot \left( \frac{\sqrt[6]{a} - 3}{\sqrt[3]{a} - 3\sqrt[6]{a} + 9} - \frac{\sqrt[6]{ab} - 9}{\sqrt{a} + 27} \right) $.

Для удобства введем замену: пусть $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$. Тогда $\sqrt[3]{a} = x^2$, $\sqrt{a} = x^3$, $\sqrt[6]{ab} = \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b} = xy$.

Выражение примет вид:

$ \frac{x^3 + 27}{x - y} \cdot \left( \frac{x - 3}{x^2 - 3x + 9} - \frac{xy - 9}{x^3 + 27} \right) $.

1. Упростим выражение в скобках. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

Общий знаменатель в скобках будет $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

$ \frac{x - 3}{x^2 - 3x + 9} - \frac{xy - 9}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{(x - 3)(x + 3) - (xy - 9)}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ (x^2 - 9) - (xy - 9) = x^2 - 9 - xy + 9 = x^2 - xy = x(x-y) $.

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{x(x-y)}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{x(x-y)}{x^3 + 27} $.

2. Теперь выполним умножение:

$ \frac{x^3 + 27}{x - y} \cdot \frac{x(x - y)}{x^3 + 27} $.

Сократим одинаковые множители $(x^3 + 27)$ и $(x - y)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{x^3 + 27}}{\cancel{x - y}} \cdot \frac{x(\cancel{x - y})}{\cancel{x^3 + 27}} = x $.

3. Вернемся к исходной переменной, подставив $x = \sqrt[6]{a}$:

Результат равен $\sqrt[6]{a}$.

Ответ: $ \sqrt[6]{a} $