Номер 40, страница 408 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \sqrt[6]{x} - \sqrt[6]{y} = 1, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}} + \sqrt{\frac{2x}{3x - 2y}} = 2, \\ x^2 - 8y^2 = 18 - 18y. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[6]{x} - \sqrt[6]{y} = 1, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 7. \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$, $y \ge 0$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[6]{x}$ и $b = \sqrt[6]{y}$. Учитывая ОДЗ, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[6]{x})^3 = a^3$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[6]{y})^3 = b^3$.

Система уравнений примет вид:

$$ \begin{cases} a - b = 1, \\ a^3 - b^3 = 7. \end{cases} $$

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для второго уравнения:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 7$

Подставим $a - b = 1$ из первого уравнения:

$1 \cdot (a^2 + ab + b^2) = 7$

$a^2 + ab + b^2 = 7$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = b + 1$. Подставим это выражение в полученное уравнение:

$(b+1)^2 + (b+1)b + b^2 = 7$

Раскроем скобки и упростим:

$b^2 + 2b + 1 + b^2 + b + b^2 = 7$

$3b^2 + 3b + 1 = 7$

$3b^2 + 3b - 6 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$b^2 + b - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $b_1 = 1$ и $b_2 = -2$.

Так как $b = \sqrt[6]{y}$, то $b$ не может быть отрицательным ($b \ge 0$). Следовательно, корень $b_2 = -2$ является посторонним.

Единственное решение для $b$ это $b = 1$.

Теперь найдем $a$:

$a = b + 1 = 1 + 1 = 2$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$a = \sqrt[6]{x} \Rightarrow 2 = \sqrt[6]{x} \Rightarrow x = 2^6 = 64$.

$b = \sqrt[6]{y} \Rightarrow 1 = \sqrt[6]{y} \Rightarrow y = 1^6 = 1$.

Проверим найденное решение $(64; 1)$ подстановкой в исходную систему:

$\sqrt[6]{64} - \sqrt[6]{1} = 2 - 1 = 1$. (Верно)

$\sqrt{64} - \sqrt{1} = 8 - 1 = 7$. (Верно)

Ответ: $(64; 1)$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}} + \sqrt{\frac{2x}{3x - 2y}} = 2, \\ x^2 - 8y^2 = 18 - 18y. \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение. ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательными, а знаменатели не равны нулю. Это означает, что $\frac{3x - 2y}{2x} > 0$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}}$. Так как $t$ - значение корня, $t > 0$.

Тогда первое уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$):

$t^2 + 1 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

Отсюда $t = 1$.

Вернемся к замене:

$\sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{3x - 2y}{2x} = 1$

$3x - 2y = 2x$

$x = 2y$

Теперь подставим это соотношение во второе уравнение системы:

$x^2 - 8y^2 = 18 - 18y$

$(2y)^2 - 8y^2 = 18 - 18y$

$4y^2 - 8y^2 = 18 - 18y$

$-4y^2 = 18 - 18y$

$4y^2 - 18y + 18 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2y^2 - 9y + 9 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$y_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

1. Если $y_1 = \frac{3}{2}$, то $x_1 = 2y_1 = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$. Получили решение $(3; \frac{3}{2})$.

2. Если $y_2 = 3$, то $x_2 = 2y_2 = 2 \cdot 3 = 6$. Получили решение $(6; 3)$.

Проверим оба решения. ОДЗ $\frac{3x - 2y}{2x} > 0$ при $x=2y$ сводится к $\frac{3(2y) - 2y}{2(2y)} = \frac{4y}{4y} = 1 > 0$, что верно при $y \ne 0$. Оба найденных значения $y$ не равны нулю.

Подстановка во второе уравнение уже была выполнена в ходе решения, поэтому оба решения являются верными.

Ответ: $(3; \frac{3}{2})$, $(6; 3)$.