Номер 42, страница 408 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x - 4} \ge \sqrt{5 - x}$;

2) $\sqrt{x^2 + x} < \sqrt{x^2 + 1}$.

1) $\sqrt{2x-4} \ge \sqrt{5-x}$

Данное иррациональное неравенство равносильно системе, в которую входит область допустимых значений (ОДЗ), где подкоренные выражения должны быть неотрицательны, и само неравенство, полученное после возведения в квадрат обеих его частей.

Система неравенств выглядит следующим образом:

$\begin{cases} 2x-4 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \\ 2x-4 \ge 5-x \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по очереди:

1. $2x-4 \ge 0 \implies 2x \ge 4 \implies x \ge 2$

2. $5-x \ge 0 \implies 5 \ge x \implies x \le 5$

3. $2x-4 \ge 5-x \implies 2x+x \ge 5+4 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x \ge 2$, $x \le 5$ и $x \ge 3$ одновременно. Пересечением этих трех условий является промежуток $3 \le x \le 5$.

Ответ: $[3; 5]$.

2) $\sqrt{x^2+x} < \sqrt{x^2+1}$

Данное неравенство равносильно системе, состоящей из условия неотрицательности подкоренного выражения в левой части и неравенства, полученного после возведения в квадрат обеих частей (что возможно, так как они обе неотрицательны).

Система неравенств:

$\begin{cases} x^2+x \ge 0 \\ x^2+x < x^2+1 \end{cases}$

(Условие $x^2+1 \ge 0$ для правой части выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$ и, следовательно, $x^2+1 \ge 1$, поэтому его можно не включать в систему).

Решим первое неравенство: $x^2+x \ge 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x+1) \ge 0$.

Корнями уравнения $x(x+1)=0$ являются $x_1=-1$ и $x_2=0$. График функции $y=x^2+x$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство выполняется на промежутках, где парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть при $x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2+x < x^2+1$.

Вычтем $x^2$ из обеих частей: $x < 1$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \in ((-\infty; -1] \cup [0; +\infty)) \cap (-\infty; 1)$.

Пересечение множества $(-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$ с интервалом $(-\infty; 1)$ дает объединение двух промежутков: $(-\infty; -1]$ и $[0; 1)$.

Ответ: $(-\infty; -1] \cup [0; 1)$.