Номер 48, страница 409 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x};$

2) $f(x) = x^3 + \cos x;$

3) $f(x) = \frac{(x^2 - 1)\text{ctg } x}{x^2 - 1}.$

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:

1. Симметричность области определения $D(f)$ относительно начала координат (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Выполнение одного из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ (функция чётная).
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ (функция нечётная).

Если ни одно из равенств не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной.

1) $f(x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $1 + \cos x \neq 0$, что означает $\cos x \neq -1$. Следовательно, $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{\pi + 2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ симметрична относительно начала координат, так как если $x_0 \neq \pi + 2\pi k$, то и $-x_0 \neq \pi + 2\pi m$ для любых целых $k$ и $m$.

2. Найдём значение функции в точке $-x$: $f(-x) = \frac{1 - \cos(-x)}{1 + \cos(-x)}$.

3. Используем свойство чётности косинуса: $\cos(-x) = \cos x$.

$f(-x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = f(x)$.

4. Так как область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

2) $f(x) = x^3 + \cos x$

1. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа). Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём значение функции в точке $-x$: $f(-x) = (-x)^3 + \cos(-x)$.

3. Используем свойства степенной функции с нечётным показателем ($(-x)^3 = -x^3$) и чётности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$):

$f(-x) = -x^3 + \cos x$.

4. Сравним полученное выражение с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = -x^3 + \cos x \neq f(x)$, так как $-x^3 + \cos x \neq x^3 + \cos x$ (кроме $x=0$).

$-f(x) = -(x^3 + \cos x) = -x^3 - \cos x$.

$f(-x) = -x^3 + \cos x \neq -f(x)$, так как $-x^3 + \cos x \neq -x^3 - \cos x$ (кроме точек, где $\cos x = 0$).

Поскольку ни условие чётности, ни условие нечётности не выполняются для всех $x$ из области определения, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

3) $f(x) = \frac{(x^2 - 1)\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1}$

1. Найдём область определения функции. Во-первых, знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 1$. Во-вторых, функция котангенса $\operatorname{ctg} x$ определена при условии, что $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1, \pi k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ является симметричной относительно начала координат.

2. На области определения $x^2 - 1 \neq 0$, поэтому функцию можно упростить:

$f(x) = \operatorname{ctg} x$.

3. Найдём значение функции в точке $-x$: $f(-x) = \operatorname{ctg}(-x)$.

4. Используем свойство нечётности котангенса: $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$.

$f(-x) = -\operatorname{ctg} x = -f(x)$.

5. Так как область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.