Номер 45, страница 408 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

45. Решите неравенство $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{4-x^2} < 2$.

Для решения неравенства $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{4-x^2} < 2$ выполним следующие шаги.

Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств: $$ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 4 - x^2 \ge 0 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$, что соответствует промежутку $x \in [-1, 1]$.
2) $4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$, что соответствует промежутку $x \in [-2, 2]$.
Областью допустимых значений является пересечение этих двух промежутков: $x \in [-1, 1] \cap [-2, 2] = [-1, 1]$. Все дальнейшие преобразования и решения будем рассматривать на этом промежутке.

Преобразование и решение неравенства

Исходное неравенство: $$ \sqrt{1-x^2} + \sqrt{4-x^2} < 2 $$ На ОДЗ левая часть неравенства (сумма двух корней) и правая часть (число 2) являются неотрицательными. Поэтому можно возвести обе части неравенства в квадрат: $$ (\sqrt{1-x^2} + \sqrt{4-x^2})^2 < 2^2 $$ $$ (1-x^2) + 2\sqrt{(1-x^2)(4-x^2)} + (4-x^2) < 4 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 5 - 2x^2 + 2\sqrt{x^4 - 5x^2 + 4} < 4 $$ Изолируем радикал в левой части: $$ 2\sqrt{x^4 - 5x^2 + 4} < 4 - 5 + 2x^2 $$ $$ 2\sqrt{x^4 - 5x^2 + 4} < 2x^2 - 1 $$

Полученное иррациональное неравенство вида $2\sqrt{A} < B$ равносильно системе: $$ \begin{cases} A \ge 0 \\ B > 0 \\ 4A < B^2 \end{cases} $$ В нашем случае: $$ \begin{cases} x^4 - 5x^2 + 4 \ge 0 \\ 2x^2 - 1 > 0 \\ 4(x^4 - 5x^2 + 4) < (2x^2 - 1)^2 \end{cases} $$ Рассмотрим каждое условие:
1) Первое условие $x^4 - 5x^2 + 4 \ge 0$ или $(1-x^2)(4-x^2) \ge 0$ автоматически выполняется для всех $x$ из ОДЗ, так как на промежутке $[-1, 1]$ оба множителя $(1-x^2)$ и $(4-x^2)$ неотрицательны.
2) Второе условие: $2x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > \frac{1}{2}$.
3) Третье условие: $$ 4x^4 - 20x^2 + 16 < 4x^4 - 4x^2 + 1 $$ $$ 15 < 16x^2 $$ $$ x^2 > \frac{15}{16} $$

Определение итогового множества решений

Теперь необходимо найти все значения $x$, которые удовлетворяют всем найденным условиям одновременно:
1) $x \in [-1, 1]$ (ОДЗ)
2) $x^2 > \frac{1}{2}$
3) $x^2 > \frac{15}{16}$

Сравнивая $\frac{1}{2}$ и $\frac{15}{16}$, видим, что $\frac{15}{16} > \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. Таким образом, условие $x^2 > \frac{15}{16}$ является более строгим и поглощает условие $x^2 > \frac{1}{2}$. Нам остается решить систему: $$ \begin{cases} x \in [-1, 1] \\ x^2 > \frac{15}{16} \end{cases} $$ Решением неравенства $x^2 > \frac{15}{16}$ является объединение промежутков $(-\infty, -\frac{\sqrt{15}}{4}) \cup (\frac{\sqrt{15}}{4}, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $[-1, 1]$.
Так как $3 < \sqrt{15} < 4$, то $\frac{3}{4} < \frac{\sqrt{15}}{4} < 1$.
Пересечение с промежутком $[-1, 1]$ дает два интервала: $[-1, -\frac{\sqrt{15}}{4})$ и $(\frac{\sqrt{15}}{4}, 1]$.
Объединяя их, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-1, -\frac{\sqrt{15}}{4}) \cup (\frac{\sqrt{15}}{4}, 1]$.