Страница 408 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35. Упростите выражение:

1) $\frac{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{4}{7}}b^{\frac{4}{7}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{6}{7}}b^{\frac{5}{7}} - a^{\frac{5}{7}}b^{\frac{6}{7}}} \cdot \frac{a - a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}$;

2) $\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}}} : \frac{a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}$;

3) $(1 - a^{\frac{1}{36}})(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}}) + \frac{4 - a^{\frac{1}{6}}}{2 - a^{\frac{1}{12}}}$;

4) $\frac{m^{\frac{4}{3}} - 27m^{\frac{1}{3}}n}{m^{\frac{2}{3}} + 3\sqrt[3]{mn} + 9n^{\frac{2}{3}}} : \left(1 - 3\sqrt[3]{\frac{n}{m}}\right) - \sqrt[3]{m^2}$.

1)

Упростим выражение: $ \frac{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{5}{6}} - a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{7}{6}}} \cdot \frac{a - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}} $

Чтобы упростить работу с дробными показателями, введем замену. Наименьшее общее кратное знаменателей степеней (2, 4, 6, 3) равно 12. Пусть $x = a^{\frac{1}{12}}$ и $y = b^{\frac{1}{12}}$.

Тогда:

• $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{12}})^6 = x^6$, $a^{\frac{1}{4}} = x^3$, $b^{\frac{1}{4}} = y^3$, $b^{\frac{1}{2}} = y^6$
• $a^{\frac{7}{6}} = x^{14}$, $b^{\frac{5}{6}} = y^{10}$, $a^{\frac{5}{6}} = x^{10}$, $b^{\frac{7}{6}} = y^{14}$
• $a = x^{12}$, $a^{\frac{1}{3}} = x^4$, $b^{\frac{2}{3}} = y^8$

Перепишем части выражения с новыми переменными:

Числитель первой дроби: $x^6 + 2x^3y^3 + y^6 = (x^3 + y^3)^2$.

Знаменатель первой дроби: $x^{14}y^{10} - x^{10}y^{14} = x^{10}y^{10}(x^4 - y^4)$.

Числитель второй дроби: $x^{12} - x^4y^8 = x^4(x^8 - y^8) = x^4(x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$.

Знаменатель второй дроби: $x^3y^3 + y^6 = y^3(x^3 + y^3)$.

Теперь подставим эти выражения в исходное:

$ \frac{(x^3 + y^3)^2}{x^{10}y^{10}(x^4 - y^4)} \cdot \frac{x^4(x^4 - y^4)(x^4 + y^4)}{y^3(x^3 + y^3)} $

Сократим общие множители $(x^3 + y^3)$ и $(x^4 - y^4)$:

$ \frac{x^3 + y^3}{x^{10}y^{10}} \cdot \frac{x^4(x^4 + y^4)}{y^3} = \frac{x^4(x^3 + y^3)(x^4 + y^4)}{x^{10}y^{10}y^3} = \frac{(x^3 + y^3)(x^4 + y^4)}{x^6 y^{13}} $

Выполним обратную замену:

$x^3 = a^{\frac{3}{12}} = a^{\frac{1}{4}}$, $y^3 = b^{\frac{3}{12}} = b^{\frac{1}{4}}$

$x^4 = a^{\frac{4}{12}} = a^{\frac{1}{3}}$, $y^4 = b^{\frac{4}{12}} = b^{\frac{1}{3}}$

$x^6 = a^{\frac{6}{12}} = a^{\frac{1}{2}}$, $y^{13} = b^{\frac{13}{12}}$

Получаем:

$ \frac{(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{13}{12}}} $

Ответ: $ \frac{(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{13}{12}}} $

2)

Упростим выражение: $ \frac{\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}}}}{\frac{a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}} $

Деление дробей можно заменить умножением на обратную дробь:

$ \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{1}{3}}} $

Объединим числители и знаменатели:

$ \frac{(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})}{(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{1}{3}}} $

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(a^{\frac{3}{2}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2 = a^3 - b^3$.

Упростим знаменатель:

$(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}} = (a(a - b))^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{2}{3}}$.

Знаменатель целиком: $a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}(a - b)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}}(a-b)^1 = a^{\frac{4}{3}}(a-b)$.

Подставим упрощенные части обратно в дробь:

$ \frac{a^3 - b^3}{a^{\frac{4}{3}}(a-b)} $

Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$ \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^{\frac{4}{3}}(a-b)} $

Сократим общий множитель $(a-b)$:

$ \frac{a^2+ab+b^2}{a^{\frac{4}{3}}} $

Ответ: $ \frac{a^2+ab+b^2}{a^{\frac{4}{3}}} $

3)

Упростим выражение: $ (1 - a^{\frac{1}{36}})(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}}) + \frac{4 - a^{\frac{1}{6}}}{2 - a^{\frac{1}{12}}} $

Рассмотрим первую часть выражения: $(1 - a^{\frac{1}{36}})(1 + a^{\frac{1}{36}} + a^{\frac{1}{18}})$.

Пусть $x = a^{\frac{1}{36}}$, тогда $x^2 = (a^{\frac{1}{36}})^2 = a^{\frac{2}{36}} = a^{\frac{1}{18}}$. Выражение принимает вид $(1-x)(1+x+x^2)$, что является формулой разности кубов $1^3 - x^3$.

Таким образом, первая часть равна $1 - (a^{\frac{1}{36}})^3 = 1 - a^{\frac{3}{36}} = 1 - a^{\frac{1}{12}}$.

Рассмотрим вторую часть выражения: $\frac{4 - a^{\frac{1}{6}}}{2 - a^{\frac{1}{12}}}$.

Числитель $4 - a^{\frac{1}{6}}$ можно представить как разность квадратов, так как $a^{\frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{12}})^2$.

$4 - (a^{\frac{1}{12}})^2 = (2 - a^{\frac{1}{12}})(2 + a^{\frac{1}{12}})$.

Тогда дробь равна $\frac{(2 - a^{\frac{1}{12}})(2 + a^{\frac{1}{12}})}{2 - a^{\frac{1}{12}}} = 2 + a^{\frac{1}{12}}$.

Теперь сложим обе упрощенные части:

$(1 - a^{\frac{1}{12}}) + (2 + a^{\frac{1}{12}}) = 1 - a^{\frac{1}{12}} + 2 + a^{\frac{1}{12}} = 3$.

Ответ: $3$

4)

Упростим выражение: $ \frac{m^{\frac{4}{3}} - 27m^{\frac{1}{3}}n}{m^{\frac{2}{3}} + 3\sqrt[3]{mn} + 9n^{\frac{2}{3}}} : (1 - 3\sqrt[3]{\frac{n}{m}}) - \sqrt[3]{m^2} $

Сначала выполним деление. Упростим каждую часть выражения.

Числитель первой дроби: $m^{\frac{4}{3}} - 27m^{\frac{1}{3}}n = m^{\frac{1}{3}}(m - 27n)$.

Знаменатель первой дроби: $m^{\frac{2}{3}} + 3\sqrt[3]{mn} + 9n^{\frac{2}{3}} = m^{\frac{2}{3}} + 3m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 9n^{\frac{2}{3}}$.

Выражение в скобках: $1 - 3\sqrt[3]{\frac{n}{m}} = 1 - \frac{3n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}}} = \frac{m^{\frac{1}{3}} - 3n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}}}$.

Выполним деление:

$ \frac{m^{\frac{1}{3}}(m - 27n)}{m^{\frac{2}{3}} + 3m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 9n^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{m^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}} - 3n^{\frac{1}{3}}} $

Рассмотрим произведение знаменателя первой дроби и знаменателя второй дроби: $(m^{\frac{2}{3}} + 3m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + 9n^{\frac{2}{3}})(m^{\frac{1}{3}} - 3n^{\frac{1}{3}})$.

Это формула разности кубов $(x^2+xy+y^2)(x-y) = x^3 - y^3$, где $x=m^{\frac{1}{3}}$ и $y=3n^{\frac{1}{3}}$.

Произведение равно $(m^{\frac{1}{3}})^3 - (3n^{\frac{1}{3}})^3 = m - 27n$.

Теперь выражение для деления выглядит так:

$ \frac{m^{\frac{1}{3}}(m - 27n) \cdot m^{\frac{1}{3}}}{m - 27n} $

Сократив $(m - 27n)$, получим: $m^{\frac{1}{3}} \cdot m^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{2}{3}}$.

Теперь вернемся к исходному выражению и вычтем последний член:

$m^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{m^2} = m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{2}{3}} = 0$.

Ответ: $0$

36. Решите уравнение:

1) $x = \sqrt{x+5} + 1;$

2) $3\sqrt{x+10} - 11 = 2x.$

1) $x = \sqrt{x+5} + 1$

Сначала изолируем радикал (корень), перенеся 1 в левую часть уравнения:

$x - 1 = \sqrt{x+5}$

Теперь определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, левая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Кроме того, выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Возведем обе части уравнения $x - 1 = \sqrt{x+5}$ в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(x - 1)^2 = (\sqrt{x+5})^2$

$x^2 - 2x + 1 = x + 5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - x + 1 - 5 = 0$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 3$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -4$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 1$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 1$, значит, он является решением уравнения.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, так как $-1 < 1$. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 4

2) $3\sqrt{x+10} - 11 = 2x$

Изолируем радикал, перенеся -11 в правую часть уравнения:

$3\sqrt{x+10} = 2x + 11$

Определим ОДЗ. Выражение под корнем и правая часть уравнения (которая равна выражению с корнем, умноженным на 3) должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} x+10 \ge 0 \\ 2x+11 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -10 \\ 2x \ge -11 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -10 \\ x \ge -5.5 \end{cases}$

Из этих двух условий следует, что ОДЗ: $x \ge -5.5$.

Возведем обе части уравнения $3\sqrt{x+10} = 2x + 11$ в квадрат:

$(3\sqrt{x+10})^2 = (2x + 11)^2$

$9(x+10) = 4x^2 + 2 \cdot 2x \cdot 11 + 11^2$

$9x + 90 = 4x^2 + 44x + 121$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 + 44x - 9x + 121 - 90 = 0$

$4x^2 + 35x + 31 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 4 \cdot 31 = 1225 - 496 = 729$

$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 + 27}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 - 27}{2 \cdot 4} = \frac{-62}{8} = -\frac{31}{4} = -7.75$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -5.5$).

Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию $-1 \ge -5.5$, следовательно, является решением.

Корень $x_2 = -7.75$ не удовлетворяет условию $-7.75 \ge -5.5$, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: -1

37. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+1} = 2;$

2) $\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} = 1.$

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+1} = 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения, стоящие под знаком корня, должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge -1 \\ x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x \ge -1/3$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы упростить возведение в квадрат:

$\sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x+1}$

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней из-за этого действия:

$(\sqrt{3x+1})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2$

$3x+1 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1)$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:

$3x+1 = 5+x+4\sqrt{x+1}$

$3x - x - 5 + 1 = 4\sqrt{x+1}$

$2x-4 = 4\sqrt{x+1}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x-2 = 2\sqrt{x+1}$

Прежде чем снова возводить в квадрат, заметим, что правая часть $2\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательна. Следовательно, и левая часть должна быть неотрицательной. Это дает нам дополнительное условие:

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Это условие ($x \ge 2$) является более строгим, чем первоначальное ОДЗ ($x \ge -1/3$), поэтому все найденные решения должны ему удовлетворять.

Теперь возведем обе части уравнения $x-2 = 2\sqrt{x+1}$ в квадрат:

$(x-2)^2 = (2\sqrt{x+1})^2$

$x^2 - 4x + 4 = 4(x+1)$

$x^2 - 4x + 4 = 4x + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:

$x(x-8) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1=0$ и $x_2=8$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \ge 2$:

1. $x_1=0$ не удовлетворяет условию $0 \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.

2. $x_2=8$ удовлетворяет условию $8 \ge 2$.

Для полной уверенности выполним проверку подстановкой $x=8$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3 \cdot 8 + 1} - \sqrt{8+1} = \sqrt{24+1} - \sqrt{9} = \sqrt{25} - 3 = 5 - 3 = 2$.

$2 = 2$. Равенство верное, значит, $x=8$ является решением.

Ответ: 8

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которых оба подкоренных выражения неотрицательны:

$\begin{cases} 1-x \ge 0 \\ 1+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-1; 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Так как обе части уравнения неотрицательны (сумма двух неотрицательных корней равна положительному числу), это равносильное преобразование на ОДЗ.

$(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x})^2 = 1^2$

$(1-x) + 2\sqrt{(1-x)(1+x)} + (1+x) = 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2 + 2\sqrt{1-x^2} = 1$

Теперь уединим корень:

$2\sqrt{1-x^2} = 1 - 2$

$2\sqrt{1-x^2} = -1$

$\sqrt{1-x^2} = -\frac{1}{2}$

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) является неотрицательной величиной, то есть $\sqrt{1-x^2} \ge 0$ для любого $x$ из ОДЗ. Мы получили, что неотрицательное число равно отрицательному числу ($-1/2$). Такое равенство невозможно.

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней

38. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$;

2) $\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} - 2\sqrt[3]{x - 2} - 3 = 0$.

1) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным, получаем $x \ge 0$.

Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$. Это позволяет нам сделать замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Учитывая ОДЗ, новая переменная должна быть неотрицательной, то есть $t \ge 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t^2 + t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = -1$
• Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = -6$

Подбором находим корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

Теперь вернемся к условию $t \ge 0$.

• $t_1 = -3$ не удовлетворяет этому условию, следовательно, это посторонний корень.
• $t_2 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для найденного корня:

$\sqrt[4]{x} = 2$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x})^4 = 2^4$

$x = 16$

Найденное значение $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 \ge 0$).

Выполним проверку, подставив $x=16$ в исходное уравнение:

$\sqrt{16} + \sqrt[4]{16} - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$

$0 = 0$ (верно)

Ответ: $16$.

2) $\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} - 2\sqrt[3]{x - 2} - 3 = 0$

Так как корень кубический (нечетной степени), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничений на $x$ нет.

Упростим выражение под первым корнем. Заметим, что $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности: $(x-2)^2$.

Перепишем уравнение в новом виде:

$\sqrt[3]{(x-2)^2} - 2\sqrt[3]{x - 2} - 3 = 0$

Сделаем замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному. Пусть $y = \sqrt[3]{x - 2}$. Тогда $\sqrt[3]{(x-2)^2} = (\sqrt[3]{x-2})^2 = y^2$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:

• Сумма корней: $y_1 + y_2 = 2$
• Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -3$

Отсюда корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней $y$.

Случай 1: $y = 3$

$\sqrt[3]{x - 2} = 3$

Возводим обе части в куб:

$(\sqrt[3]{x - 2})^3 = 3^3$

$x - 2 = 27$

$x_1 = 29$

Случай 2: $y = -1$

$\sqrt[3]{x - 2} = -1$

Возводим обе части в куб:

$(\sqrt[3]{x - 2})^3 = (-1)^3$

$x - 2 = -1$

$x_2 = 1$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; 29$.

39. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 - 5x + 16 - 3\sqrt{x^2 - 5x + 20} = 0;$

2) $x^2 + 4 - 5\sqrt{x^2 - 2} = 0.$

1) $x^2-5x+16-3\sqrt{x^2-5x+20}=0$

Заметим, что выражение $x^2-5x+16$ можно выразить через подкоренное выражение $x^2-5x+20$ следующим образом: $x^2-5x+16 = (x^2-5x+20) - 4$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(x^2-5x+20) - 4 - 3\sqrt{x^2-5x+20} = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2-5x+20}$. Поскольку значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

С новой переменной уравнение примет вид:

$t^2 - 4 - 3t = 0$

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Следовательно, корнями являются:

$t_1 = 4$

$t_2 = -1$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому является посторонним.

Выполним обратную замену для $t = 4$:

$\sqrt{x^2-5x+20} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2-5x+20 = 16$

$x^2-5x+4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Область допустимых значений исходного уравнения определяется условием $x^2-5x+20 \ge 0$. Дискриминант квадратного трехчлена $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 25 - 80 = -55$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, то трехчлен $x^2-5x+20$ положителен при любых значениях $x$. Следовательно, найденные корни входят в область допустимых значений.

Ответ: $1; 4$.

2) $x^2+4-5\sqrt{x^2-2}=0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2-2 \ge 0$

$x^2 \ge 2$

$x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; \infty)$.

Преобразуем уравнение, выразив $x^2+4$ через подкоренное выражение $x^2-2$: $x^2+4 = (x^2-2)+6$.

Подставим это в уравнение:

$(x^2-2) + 6 - 5\sqrt{x^2-2} = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2-2}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

После замены уравнение примет вид:

$t^2 + 6 - 5t = 0$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 5, произведение равно 6. Корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = 3$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену для каждого из них.

Случай 1: $t = 2$.

$\sqrt{x^2-2} = 2$

Возводим обе части в квадрат:

$x^2-2 = 4$

$x^2 = 6$

$x = \pm\sqrt{6}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ: $(\pm\sqrt{6})^2 = 6 \ge 2$. Оба корня подходят.

Случай 2: $t = 3$.

$\sqrt{x^2-2} = 3$

Возводим обе части в квадрат:

$x^2-2 = 9$

$x^2 = 11$

$x = \pm\sqrt{11}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ: $(\pm\sqrt{11})^2 = 11 \ge 2$. Оба корня подходят.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm\sqrt{6}; \pm\sqrt{11}$.

40. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \sqrt[6]{x} - \sqrt[6]{y} = 1, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}} + \sqrt{\frac{2x}{3x - 2y}} = 2, \\ x^2 - 8y^2 = 18 - 18y. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[6]{x} - \sqrt[6]{y} = 1, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 7. \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$, $y \ge 0$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[6]{x}$ и $b = \sqrt[6]{y}$. Учитывая ОДЗ, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда $\sqrt{x} = (\sqrt[6]{x})^3 = a^3$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[6]{y})^3 = b^3$.

Система уравнений примет вид:

$$ \begin{cases} a - b = 1, \\ a^3 - b^3 = 7. \end{cases} $$

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для второго уравнения:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 7$

Подставим $a - b = 1$ из первого уравнения:

$1 \cdot (a^2 + ab + b^2) = 7$

$a^2 + ab + b^2 = 7$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = b + 1$. Подставим это выражение в полученное уравнение:

$(b+1)^2 + (b+1)b + b^2 = 7$

Раскроем скобки и упростим:

$b^2 + 2b + 1 + b^2 + b + b^2 = 7$

$3b^2 + 3b + 1 = 7$

$3b^2 + 3b - 6 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$b^2 + b - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $b_1 = 1$ и $b_2 = -2$.

Так как $b = \sqrt[6]{y}$, то $b$ не может быть отрицательным ($b \ge 0$). Следовательно, корень $b_2 = -2$ является посторонним.

Единственное решение для $b$ это $b = 1$.

Теперь найдем $a$:

$a = b + 1 = 1 + 1 = 2$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$a = \sqrt[6]{x} \Rightarrow 2 = \sqrt[6]{x} \Rightarrow x = 2^6 = 64$.

$b = \sqrt[6]{y} \Rightarrow 1 = \sqrt[6]{y} \Rightarrow y = 1^6 = 1$.

Проверим найденное решение $(64; 1)$ подстановкой в исходную систему:

$\sqrt[6]{64} - \sqrt[6]{1} = 2 - 1 = 1$. (Верно)

$\sqrt{64} - \sqrt{1} = 8 - 1 = 7$. (Верно)

Ответ: $(64; 1)$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}} + \sqrt{\frac{2x}{3x - 2y}} = 2, \\ x^2 - 8y^2 = 18 - 18y. \end{cases} $$

Рассмотрим первое уравнение. ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательными, а знаменатели не равны нулю. Это означает, что $\frac{3x - 2y}{2x} > 0$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}}$. Так как $t$ - значение корня, $t > 0$.

Тогда первое уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$):

$t^2 + 1 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

Отсюда $t = 1$.

Вернемся к замене:

$\sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{3x - 2y}{2x} = 1$

$3x - 2y = 2x$

$x = 2y$

Теперь подставим это соотношение во второе уравнение системы:

$x^2 - 8y^2 = 18 - 18y$

$(2y)^2 - 8y^2 = 18 - 18y$

$4y^2 - 8y^2 = 18 - 18y$

$-4y^2 = 18 - 18y$

$4y^2 - 18y + 18 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$2y^2 - 9y + 9 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$y_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

1. Если $y_1 = \frac{3}{2}$, то $x_1 = 2y_1 = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$. Получили решение $(3; \frac{3}{2})$.

2. Если $y_2 = 3$, то $x_2 = 2y_2 = 2 \cdot 3 = 6$. Получили решение $(6; 3)$.

Проверим оба решения. ОДЗ $\frac{3x - 2y}{2x} > 0$ при $x=2y$ сводится к $\frac{3(2y) - 2y}{2(2y)} = \frac{4y}{4y} = 1 > 0$, что верно при $y \ne 0$. Оба найденных значения $y$ не равны нулю.

Подстановка во второе уравнение уже была выполнена в ходе решения, поэтому оба решения являются верными.

Ответ: $(3; \frac{3}{2})$, $(6; 3)$.

41. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 4x - 3$;

2) $(\sqrt{x + 1} + 1)(\sqrt{x + 1 + x^2 + x - 7}) = x.$

1) $ \sqrt{x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 4x - 3 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а также правая часть уравнения, как сумма двух неотрицательных корней, должна быть неотрицательной.

$ \begin{cases} x^2 + 3x - 2 \ge 0 \\ x^2 - x + 1 \ge 0 \\ 4x - 3 \ge 0 \end{cases} $

1. $x^2 + 3x - 2 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 + 3x - 2 = 0$ равны $x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4(-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$. Следовательно, $x \in (-\infty, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{-3+\sqrt{17}}{2}, +\infty)$.

2. $x^2 - x + 1 \ge 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, парабола направлена вверх и не пересекает ось Ox, значит, выражение $x^2 - x + 1$ всегда положительно.

3. $4x - 3 \ge 0 \implies 4x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{4}$.

Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{3}{4}$, так как $\frac{-3+\sqrt{17}}{2} \approx 0.56$, а $\frac{3}{4} = 0.75$.

Заметим, что разность подкоренных выражений равна правой части уравнения:

$(x^2 + 3x - 2) - (x^2 - x + 1) = 4x - 3$.

Пусть $a = \sqrt{x^2 + 3x - 2}$ и $b = \sqrt{x^2 - x + 1}$. Тогда исходное уравнение можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} a + b = 4x - 3 \\ a^2 - b^2 = 4x - 3 \end{cases} $

Из второго уравнения: $(a-b)(a+b) = 4x-3$. Подставим в него первое уравнение:

$(a-b)(4x-3) = 4x-3$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $4x-3=0 \implies x=\frac{3}{4}$.

Подставим в исходное уравнение: $\sqrt{(\frac{3}{4})^2+3(\frac{3}{4})-2} + \sqrt{(\frac{3}{4})^2-\frac{3}{4}+1} = \sqrt{\frac{9}{16}+\frac{9}{4}-2} + \sqrt{\frac{9}{16}-\frac{3}{4}+1} = \sqrt{\frac{9+36-32}{16}} + \sqrt{\frac{9-12+16}{16}} = \sqrt{\frac{13}{16}} + \sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{2\sqrt{13}}{4} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Правая часть: $4(\frac{3}{4}) - 3 = 0$. Так как $\frac{\sqrt{13}}{2} \ne 0$, $x=\frac{3}{4}$ не является корнем.

Случай 2: $4x-3 \ne 0$.

Тогда можно разделить обе части уравнения $(a-b)(4x-3) = 4x-3$ на $4x-3$, получим $a-b=1$.

Теперь решим систему:

$ \begin{cases} a + b = 4x - 3 \\ a - b = 1 \end{cases} $

Сложив уравнения, получим $2a = 4x - 2$, откуда $a = 2x-1$.

Вернемся к исходной переменной: $\sqrt{x^2 + 3x - 2} = 2x-1$.

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы $2x-1 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$. Это условие не строже, чем ОДЗ $x \ge \frac{3}{4}$.

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 + 3x - 2 = (2x-1)^2$

$x^2 + 3x - 2 = 4x^2 - 4x + 1$

$3x^2 - 7x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение: $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{49-36}}{6} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$.

Получили два потенциальных корня: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$ и $x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$.

Проверим их на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{3}{4}$).

1. Для $x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $x_1 \approx \frac{7+3.6}{6} \approx 1.77$. $1.77 > 0.75$, поэтому корень подходит.

2. Для $x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{6}$: $x_2 \approx \frac{7-3.6}{6} \approx 0.567$. $0.567 < 0.75$, поэтому корень не удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}$.

2) $ (\sqrt{x + 1} + 1)(\sqrt{x + 1} + x^2 + x - 7) = x $

Найдем ОДЗ: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{x+1}$. Тогда $y \ge 0$ и $y^2 = x+1$, откуда $x = y^2-1$.

Выразим $x^2+x-7$ через $y$:

$x^2+x-7 = (y^2-1)^2 + (y^2-1) - 7 = (y^4 - 2y^2 + 1) + y^2 - 1 - 7 = y^4 - y^2 - 7$.

Подставим все в исходное уравнение:

$(y+1)(y + y^4 - y^2 - 7) = y^2 - 1$

Разложим правую часть по формуле разности квадратов: $y^2-1 = (y-1)(y+1)$.

$(y+1)(y^4 - y^2 + y - 7) = (y-1)(y+1)$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(y+1)$:

$(y+1)(y^4 - y^2 + y - 7 - (y-1)) = 0$

$(y+1)(y^4 - y^2 - 6) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $y+1 = 0 \implies y = -1$. Это не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому решений в этом случае нет.

2. $y^4 - y^2 - 6 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: $z = y^2$. Так как $y \ge 0$, то $z \ge 0$.

$z^2 - z - 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $z_1 = 3$ и $z_2 = -2$.

Корень $z_2 = -2$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$.

Остается $z=3$.

Выполним обратную замену:

$y^2 = 3$. Так как $y \ge 0$, то $y = \sqrt{3}$.

Теперь вернемся к переменной $x$:

$\sqrt{x+1} = \sqrt{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$x+1 = 3$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=2$ ОДЗ: $2 \ge -1$. Удовлетворяет.

Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$(\sqrt{2+1}+1)(\sqrt{2+1}+2^2+2-7) = (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+4+2-7) = (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3-1=2$.

Правая часть равна $x=2$.

$2=2$. Равенство верное.

Ответ: $x = 2$.

42. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x - 4} \ge \sqrt{5 - x}$;

2) $\sqrt{x^2 + x} < \sqrt{x^2 + 1}$.

1) $\sqrt{2x-4} \ge \sqrt{5-x}$

Данное иррациональное неравенство равносильно системе, в которую входит область допустимых значений (ОДЗ), где подкоренные выражения должны быть неотрицательны, и само неравенство, полученное после возведения в квадрат обеих его частей.

Система неравенств выглядит следующим образом:

$\begin{cases} 2x-4 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \\ 2x-4 \ge 5-x \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по очереди:

1. $2x-4 \ge 0 \implies 2x \ge 4 \implies x \ge 2$

2. $5-x \ge 0 \implies 5 \ge x \implies x \le 5$

3. $2x-4 \ge 5-x \implies 2x+x \ge 5+4 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x \ge 2$, $x \le 5$ и $x \ge 3$ одновременно. Пересечением этих трех условий является промежуток $3 \le x \le 5$.

Ответ: $[3; 5]$.

2) $\sqrt{x^2+x} < \sqrt{x^2+1}$

Данное неравенство равносильно системе, состоящей из условия неотрицательности подкоренного выражения в левой части и неравенства, полученного после возведения в квадрат обеих частей (что возможно, так как они обе неотрицательны).

Система неравенств:

$\begin{cases} x^2+x \ge 0 \\ x^2+x < x^2+1 \end{cases}$

(Условие $x^2+1 \ge 0$ для правой части выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$ и, следовательно, $x^2+1 \ge 1$, поэтому его можно не включать в систему).

Решим первое неравенство: $x^2+x \ge 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x+1) \ge 0$.

Корнями уравнения $x(x+1)=0$ являются $x_1=-1$ и $x_2=0$. График функции $y=x^2+x$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство выполняется на промежутках, где парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть при $x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2+x < x^2+1$.

Вычтем $x^2$ из обеих частей: $x < 1$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \in ((-\infty; -1] \cup [0; +\infty)) \cap (-\infty; 1)$.

Пересечение множества $(-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$ с интервалом $(-\infty; 1)$ дает объединение двух промежутков: $(-\infty; -1]$ и $[0; 1)$.

Ответ: $(-\infty; -1] \cup [0; 1)$.

43. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3x - x^2} < 4 - x;$

2) $\sqrt{x^2 + 3x + 3} < 2x + 1;$

3) $\sqrt{2 - x} > x;$

4) $\sqrt{x^2 - 1} > x.$

1) $\sqrt{3x - x^2} < 4 - x$

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение неотрицательно, правая часть неравенства положительна, и квадрат левой части меньше квадрата правой.

$\begin{cases} 3x - x^2 \ge 0, \\ 4 - x > 0, \\ 3x - x^2 < (4 - x)^2. \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. $3x - x^2 \ge 0 \implies x(3 - x) \ge 0$.
Корни уравнения $x(3-x)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=3$. Ветви параболы $y = 3x - x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $0 \le x \le 3$.

2. $4 - x > 0 \implies x < 4$.

3. $3x - x^2 < (4 - x)^2 \implies 3x - x^2 < 16 - 8x + x^2 \implies 2x^2 - 11x + 16 > 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 - 11x + 16$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 121 - 128 = -7$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=2 > 0$, то трехчлен $2x^2 - 11x + 16$ положителен при любых значениях $x$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in [0; 3]$, $x \in (-\infty; 4)$ и $x \in (-\infty; +\infty)$.
Пересечением этих множеств является промежуток $[0; 3]$.

Ответ: $[0; 3]$.

2) $\sqrt{x^2 + 3x + 3} < 2x + 1$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 3x + 3 \ge 0, \\ 2x + 1 > 0, \\ x^2 + 3x + 3 < (2x + 1)^2. \end{cases}$

Решим каждое неравенство.

1. $x^2 + 3x + 3 \ge 0$.
Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + 3x + 3$ всегда положительно. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -1/2$.

3. $x^2 + 3x + 3 < (2x + 1)^2 \implies x^2 + 3x + 3 < 4x^2 + 4x + 1 \implies 3x^2 + x - 2 > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.
$x_1 = \frac{-1 - 5}{6} = -1$, $x_2 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней: $x \in (-\infty; -1) \cup (2/3; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty; +\infty)$, $x \in (-1/2; +\infty)$ и $x \in (-\infty; -1) \cup (2/3; +\infty)$.
Пересечением является интервал $(2/3; +\infty)$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

3) $\sqrt{2 - x} > x$

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем.

Первый случай: правая часть отрицательна. Неравенство будет верным для всех $x$, при которых подкоренное выражение определено.

$\begin{cases} x < 0, \\ 2 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0, \\ x \le 2 \end{cases} \implies x < 0$.

Второй случай: правая часть неотрицательна. В этом случае можно возвести обе части неравенства в квадрат.

$\begin{cases} x \ge 0, \\ 2 - x > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0, \\ x^2 + x - 2 < 0 \end{cases}$.
Решим второе неравенство: $x^2 + x - 2 < 0$. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $-2 < x < 1$.
С учетом условия $x \ge 0$, получаем решение для второго случая: $0 \le x < 1$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях: $x < 0$ и $0 \le x < 1$.
Объединением является промежуток $(-\infty; 1)$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

4) $\sqrt{x^2 - 1} > x$

Неравенство равносильно совокупности двух систем.

Первый случай: правая часть отрицательна, а левая часть (корень) определена и неотрицательна.

$\begin{cases} x < 0, \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0, \\ (x-1)(x+1) \ge 0 \end{cases}$.
Решение второго неравенства: $x \le -1$ или $x \ge 1$.
Пересекая с условием $x < 0$, получаем решение для первого случая: $x \le -1$.

Второй случай: правая часть неотрицательна, можно возвести обе части в квадрат.

$\begin{cases} x \ge 0, \\ x^2 - 1 > x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0, \\ -1 > 0 \end{cases}$.
Второе неравенство, $-1 > 0$, является ложным. Следовательно, эта система не имеет решений.

Объединяя решения обоих случаев (решение первого случая и пустое множество второго), получаем окончательное решение.

Ответ: $(-\infty; -1]$.

44. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \leq 0;$

2) $(x - 12)\sqrt{x - 3} \leq 0.$

1) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \le 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4 \ge 0$

Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) \ge 0$.

Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь рассмотрим исходное неравенство. Произведение двух множителей меньше или равно нулю. Множитель $\sqrt{x^2 - 4}$ по определению арифметического квадратного корня всегда неотрицателен (больше или равен нулю) в своей области определения.

Следовательно, неравенство выполняется в двух случаях:

1. Произведение равно нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю (и при этом $x$ входит в ОДЗ).

• $\sqrt{x^2 - 4} = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = -2$ или $x = 2$. Оба этих значения входят в ОДЗ, следовательно, являются решениями.
• $x^2 - 1 = 0 \implies x = -1$ или $x = 1$. Эти значения не входят в ОДЗ, поэтому не являются решениями.

2. Произведение строго меньше нуля. Поскольку множитель $\sqrt{x^2 - 4}$ не может быть отрицательным, этот случай возможен, только если $\sqrt{x^2 - 4} > 0$ и одновременно $x^2 - 1 < 0$.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x^2 - 1 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 > 4 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$, или $x \in (-1, 1)$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \cap (-1, 1) = \emptyset$. Система не имеет решений.

Объединяя результаты из двух случаев, мы видим, что неравенство выполняется только в точках, где левая часть равна нулю.

Ответ: $x \in \{-2, 2\}$.

2) $(x - 12)\sqrt{x - 3} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 3 \ge 0$

$x \ge 3$

ОДЗ: $x \in [3, \infty)$.

В области допустимых значений множитель $\sqrt{x - 3}$ всегда неотрицателен. Поэтому знак всего произведения зависит от знака первого множителя $(x - 12)$.

Неравенство $(x - 12)\sqrt{x - 3} \le 0$ выполняется, если:

1. Выражение равно нулю. Это происходит, когда $\sqrt{x - 3} = 0$ или $x - 12 = 0$.

• $\sqrt{x - 3} = 0 \implies x = 3$. Это значение входит в ОДЗ.
• $x - 12 = 0 \implies x = 12$. Это значение входит в ОДЗ.

Таким образом, $x = 3$ и $x = 12$ являются решениями.

2. Выражение строго меньше нуля. Поскольку $\sqrt{x - 3} > 0$ (случай равенства нулю уже рассмотрен, он дает $x > 3$), для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $(x - 12)$ был отрицателен:

$x - 12 < 0 \implies x < 12$.

Теперь нужно учесть ОДЗ ($x \ge 3$) и условие $x > 3$. Получаем систему:

$\begin{cases} x > 3 \\ x < 12 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $x \in (3, 12)$.

Объединяем все найденные решения: точки $x=3$, $x=12$ и интервал $(3, 12)$. В результате получаем отрезок $[3, 12]$.

Ответ: $x \in [3, 12]$.

45. Решите неравенство $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{4-x^2} < 2$.

Для решения неравенства $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{4-x^2} < 2$ выполним следующие шаги.

Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств: $$ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 4 - x^2 \ge 0 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$, что соответствует промежутку $x \in [-1, 1]$.
2) $4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$, что соответствует промежутку $x \in [-2, 2]$.
Областью допустимых значений является пересечение этих двух промежутков: $x \in [-1, 1] \cap [-2, 2] = [-1, 1]$. Все дальнейшие преобразования и решения будем рассматривать на этом промежутке.

Преобразование и решение неравенства

Исходное неравенство: $$ \sqrt{1-x^2} + \sqrt{4-x^2} < 2 $$ На ОДЗ левая часть неравенства (сумма двух корней) и правая часть (число 2) являются неотрицательными. Поэтому можно возвести обе части неравенства в квадрат: $$ (\sqrt{1-x^2} + \sqrt{4-x^2})^2 < 2^2 $$ $$ (1-x^2) + 2\sqrt{(1-x^2)(4-x^2)} + (4-x^2) < 4 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 5 - 2x^2 + 2\sqrt{x^4 - 5x^2 + 4} < 4 $$ Изолируем радикал в левой части: $$ 2\sqrt{x^4 - 5x^2 + 4} < 4 - 5 + 2x^2 $$ $$ 2\sqrt{x^4 - 5x^2 + 4} < 2x^2 - 1 $$

Полученное иррациональное неравенство вида $2\sqrt{A} < B$ равносильно системе: $$ \begin{cases} A \ge 0 \\ B > 0 \\ 4A < B^2 \end{cases} $$ В нашем случае: $$ \begin{cases} x^4 - 5x^2 + 4 \ge 0 \\ 2x^2 - 1 > 0 \\ 4(x^4 - 5x^2 + 4) < (2x^2 - 1)^2 \end{cases} $$ Рассмотрим каждое условие:
1) Первое условие $x^4 - 5x^2 + 4 \ge 0$ или $(1-x^2)(4-x^2) \ge 0$ автоматически выполняется для всех $x$ из ОДЗ, так как на промежутке $[-1, 1]$ оба множителя $(1-x^2)$ и $(4-x^2)$ неотрицательны.
2) Второе условие: $2x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > \frac{1}{2}$.
3) Третье условие: $$ 4x^4 - 20x^2 + 16 < 4x^4 - 4x^2 + 1 $$ $$ 15 < 16x^2 $$ $$ x^2 > \frac{15}{16} $$

Определение итогового множества решений

Теперь необходимо найти все значения $x$, которые удовлетворяют всем найденным условиям одновременно:
1) $x \in [-1, 1]$ (ОДЗ)
2) $x^2 > \frac{1}{2}$
3) $x^2 > \frac{15}{16}$

Сравнивая $\frac{1}{2}$ и $\frac{15}{16}$, видим, что $\frac{15}{16} > \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. Таким образом, условие $x^2 > \frac{15}{16}$ является более строгим и поглощает условие $x^2 > \frac{1}{2}$. Нам остается решить систему: $$ \begin{cases} x \in [-1, 1] \\ x^2 > \frac{15}{16} \end{cases} $$ Решением неравенства $x^2 > \frac{15}{16}$ является объединение промежутков $(-\infty, -\frac{\sqrt{15}}{4}) \cup (\frac{\sqrt{15}}{4}, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $[-1, 1]$.
Так как $3 < \sqrt{15} < 4$, то $\frac{3}{4} < \frac{\sqrt{15}}{4} < 1$.
Пересечение с промежутком $[-1, 1]$ дает два интервала: $[-1, -\frac{\sqrt{15}}{4})$ и $(\frac{\sqrt{15}}{4}, 1]$.
Объединяя их, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-1, -\frac{\sqrt{15}}{4}) \cup (\frac{\sqrt{15}}{4}, 1]$.