Страница 412 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

79. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3}, \\ \cos^2 x - \cos^2 y = -\frac{3}{4}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3}, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{2}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = \frac{1}{3}, \\ \sin \pi x + \sin \pi y = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{3}, \\ \sin x \sin y = 0.25. \end{cases}$

1)

Преобразуем второе уравнение системы, используя формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} $:

$ \frac{1+\cos(2x)}{2} - \frac{1+\cos(2y)}{2} = -\frac{3}{4} $

$ \cos(2x) - \cos(2y) = -\frac{3}{2} $

Применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ -2\sin(x+y)\sin(x-y) = -\frac{3}{2} $

$ \sin(x+y)\sin(x-y) = \frac{3}{4} $

Из первого уравнения системы известно, что $ x - y = \frac{\pi}{3} $, следовательно, $ \sin(x-y) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставим это значение в преобразованное уравнение:

$ \sin(x+y) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} $

$ \sin(x+y) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Отсюда получаем совокупность уравнений: $ x+y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $ или $ x+y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m $, где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: решим систему $ \begin{cases} x-y = \frac{\pi}{3} \\ x+y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \end{cases} $. Складывая уравнения, получаем $ 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi k $. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $ 2y = 2\pi k \Rightarrow y = \pi k $.

Случай 2: решим систему $ \begin{cases} x-y = \frac{\pi}{3} \\ x+y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \end{cases} $. Складывая уравнения, получаем $ 2x = \pi + 2\pi m \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi m $. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $ 2y = \frac{\pi}{3} + 2\pi m \Rightarrow y = \frac{\pi}{6} + \pi m $.

Ответ: $ (\frac{\pi}{3} + \pi k; \pi k) $, $ (\frac{\pi}{2} + \pi m; \frac{\pi}{6} + \pi m) $, где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

2)

Используем формулу произведения косинусов $ \cos x \cos y = \frac{\cos(x-y) + \cos(x+y)}{2} $.

Подставим известные значения $ \cos x \cos y = \frac{1}{2} $ и $ x-y = \frac{\pi}{3} $:

$ \frac{1}{2} = \frac{\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(x+y)}{2} $

$ 1 = \frac{1}{2} + \cos(x+y) $, откуда $ \cos(x+y) = \frac{1}{2} $.

Теперь решаем совокупность двух систем:

а) $ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3} \\ x + y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \end{cases}, k \in \mathbb{Z} $. Решая систему, получаем: $ x = \frac{\pi}{3} + \pi k, y = \pi k $.

б) $ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3} \\ x + y = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \end{cases}, n \in \mathbb{Z} $. Решая систему, получаем: $ x = \pi n, y = -\frac{\pi}{3} + \pi n $.

Ответ: $ (\frac{\pi}{3} + \pi k, \pi k); (\pi n, \pi n - \frac{\pi}{3}) $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

3)

Из первого уравнения выразим $ y = \frac{1}{3} - x $. Подставим во второе уравнение:

$ \sin(\pi x) + \sin(\pi(\frac{1}{3} - x)) = 1 \Rightarrow \sin(\pi x) + \sin(\frac{\pi}{3} - \pi x) = 1 $

Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ 2\sin\frac{\pi x + \frac{\pi}{3} - \pi x}{2} \cos\frac{\pi x - (\frac{\pi}{3} - \pi x)}{2} = 1 $

$ 2\sin(\frac{\pi}{6}) \cos(\pi x - \frac{\pi}{6}) = 1 $

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(\pi x - \frac{\pi}{6}) = 1 \Rightarrow \cos(\pi x - \frac{\pi}{6}) = 1 $

Отсюда $ \pi x - \frac{\pi}{6} = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ \pi x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{1}{6} + 2k $.

Тогда $ y = \frac{1}{3} - x = \frac{1}{3} - (\frac{1}{6} + 2k) = \frac{1}{6} - 2k $.

Ответ: $ (\frac{1}{6} + 2k, \frac{1}{6} - 2k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

4)

Преобразуем второе уравнение, используя формулу произведения синусов $ \sin x \sin y = \frac{\cos(x-y) - \cos(x+y)}{2} $.

Подставим известные значения $ \sin x \sin y = 0,25 = \frac{1}{4} $ и $ x+y = \frac{\pi}{3} $:

$ \frac{1}{4} = \frac{\cos(x-y) - \cos(\frac{\pi}{3})}{2} $

$ \frac{1}{2} = \cos(x-y) - \frac{1}{2} $

$ \cos(x-y) = 1 $

Отсюда $ x-y = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь решим систему уравнений $ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{3} \\ x - y = 2\pi k \end{cases} $.

Складывая уравнения, получаем $ 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi k $.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $ 2y = \frac{\pi}{3} - 2\pi k \Rightarrow y = \frac{\pi}{6} - \pi k $.

Ответ: $ (\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{6} - \pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

80. Решите уравнение:

1) $\frac{\sin x - \cos x}{4x - \pi} = 0;$

2) $\frac{\cos 2x - 2\cos x + 1}{12x^2 - 8\pi x + \pi^2} = 0;$

3) $\frac{3\sin^2 2\pi x + 7\cos 2\pi x - 3}{4x^2 - 7x + 3} = 0.$

1) $\frac{\sin x - \cos x}{4x - \pi} = 0;$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} \sin x - \cos x = 0, \\ 4x - \pi \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$\sin x - \cos x = 0$

$\sin x = \cos x$

Разделим обе части уравнения на $\cos x$. Это возможно, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x$ должен быть равен $\pm 1$, и равенство $\sin x = \cos x$ не выполняется. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\tan x = 1$

Корни этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь учтем условие, что знаменатель не равен нулю:

$4x - \pi \neq 0$

$4x \neq \pi$

$x \neq \frac{\pi}{4}$

Сравним найденные корни с этим ограничением. Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ в общую формулу корней:

$\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n$

$0 = \pi n$

$n = 0$

Таким образом, мы должны исключить корень, соответствующий $n = 0$.

Следовательно, решение уравнения - это $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ - любое целое число, кроме нуля.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 0$.

2) $\frac{\cos 2x - 2\cos x + 1}{12x^2 - 8\pi x + \pi^2} = 0;$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos 2x - 2\cos x + 1 = 0, \\ 12x^2 - 8\pi x + \pi^2 \neq 0. \end{cases}$

Решим числитель. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$(2\cos^2 x - 1) - 2\cos x + 1 = 0$

$2\cos^2 x - 2\cos x = 0$

$2\cos x (\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$12x^2 - 8\pi x + \pi^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем дискриминант:

$D = (-8\pi)^2 - 4 \cdot 12 \cdot \pi^2 = 64\pi^2 - 48\pi^2 = 16\pi^2 = (4\pi)^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{8\pi - 4\pi}{2 \cdot 12} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$

$x_2 = \frac{8\pi + 4\pi}{2 \cdot 12} = \frac{12\pi}{24} = \frac{\pi}{2}$

Значит, область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq \frac{\pi}{6}$ и $x \neq \frac{\pi}{2}$.

Проверим наши серии корней на соответствие ОДЗ:

1. Для серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Этот корень не входит в ОДЗ, его нужно исключить. При других целых $n$ корни не совпадают с $\frac{\pi}{6}$ или $\frac{\pi}{2}$.

2. Для серии $x = 2\pi k$:
Эти корни не совпадают ни с $\frac{\pi}{6}$, ни с $\frac{\pi}{2}$ ни при каком целом $k$. Эта серия корней полностью подходит.

Итак, итоговое решение: серия $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ за исключением случая $n=0$, и вся серия $x = 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$; $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\frac{3\sin^2 2\pi x + 7\cos 2\pi x - 3}{4x^2 - 7x + 3} = 0.$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3\sin^2 2\pi x + 7\cos 2\pi x - 3 = 0, \\ 4x^2 - 7x + 3 \neq 0. \end{cases}$

Решим уравнение из числителя. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$, где $\alpha = 2\pi x$:

$3(1 - \cos^2 2\pi x) + 7\cos 2\pi x - 3 = 0$

$3 - 3\cos^2 2\pi x + 7\cos 2\pi x - 3 = 0$

$-3\cos^2 2\pi x + 7\cos 2\pi x = 0$

$\cos 2\pi x (7 - 3\cos 2\pi x) = 0$

Получаем два случая:

1. $\cos 2\pi x = 0$
$2\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{1}{4} + \frac{n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$

2. $7 - 3\cos 2\pi x = 0 \Rightarrow \cos 2\pi x = \frac{7}{3}$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\cos \alpha| \le 1$.

Теперь найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$4x^2 - 7x + 3 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{7 - 1}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$x_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Значит, ОДЗ: $x \neq \frac{3}{4}$ и $x \neq 1$.

Проверим, какие значения $n$ в серии $x = \frac{1}{4} + \frac{n}{2}$ нужно исключить:

1. $x = \frac{3}{4}$
$\frac{1}{4} + \frac{n}{2} = \frac{3}{4}$
$\frac{n}{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$n=1$. Этот корень нужно исключить.

2. $x = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{n}{2} = 1$
$\frac{n}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$n = \frac{3}{2}$. Так как $n$ должно быть целым, то $x$ никогда не будет равен 1.

Таким образом, из серии решений нужно исключить корень, соответствующий $n=1$.

Ответ: $x = \frac{1}{4} + \frac{n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 1$.

81. Решите уравнение:

1) $\frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} = 0;$

2) $\frac{\sin 2x \cos 3x - \cos 2x \sin 3x}{1 + \cos x} = 0.$

1) $\frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:

$\begin{cases} \cos 2x = 0 \\ 1 - \sin 2x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$\cos 2x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решения имеют вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь проверим условие неравенства для знаменателя:

$1 - \sin 2x \neq 0 \implies \sin 2x \neq 1$

Подставим в это неравенство найденное значение для $2x$:

$\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) \neq 1$

Используем формулы приведения. Если $k$ - четное число, то есть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$, то:

$\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Эти значения не удовлетворяют условию $\sin 2x \neq 1$, поэтому соответствующие им корни нужно исключить.

Если $k$ - нечетное число, то есть $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$, то:

$\sin(\frac{\pi}{2} + (2n+1)\pi) = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi n) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Эти значения удовлетворяют условию $-1 \neq 1$.

Таким образом, в серии решений $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ нужно оставить только те, для которых $k$ - нечетное число. Подставим $k = 2n + 1$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2n + 1)}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin 2x \cos 3x - \cos 2x \sin 3x}{1 + \cos x} = 0$

Сначала упростим числитель дроби, используя формулу синуса разности углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 3x$.

$\sin 2x \cos 3x - \cos 2x \sin 3x = \sin(2x - 3x) = \sin(-x)$

Так как синус - нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin x$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{-\sin x}{1 + \cos x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Получаем систему:

$\begin{cases} -\sin x = 0 \\ 1 + \cos x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$-\sin x = 0 \implies \sin x = 0$

Решения этого уравнения:

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь проверим условие для знаменателя:

$1 + \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq -1$

Найдем, при каких значениях $x$ из серии $x=\pi k$ это условие нарушается.

$\cos(\pi k) \neq -1$

Если $k$ - четное число, то есть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$, то:

$\cos(2\pi n) = 1$. Условие $1 \neq -1$ выполняется.

Если $k$ - нечетное число, то есть $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$, то:

$\cos((2n+1)\pi) = -1$. Условие $\cos x \neq -1$ нарушается.

Следовательно, из серии решений $x = \pi k$ мы должны исключить случаи, когда $k$ нечетно. Остаются только решения, где $k$ - четное число.

Пусть $k = 2n$, тогда $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

82. Решите уравнение:

1) $\frac{\cos 2x}{1 + \sin 2x} = 0;$

2) $\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = 0.$

1) $\frac{\cos{2x}}{1 + \sin{2x}} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos{2x} = 0 \\ 1 + \sin{2x} \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$\cos{2x} = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решение:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 2, получим:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь проверим условие, что знаменатель не равен нулю:

$1 + \sin{2x} \neq 0$

$\sin{2x} \neq -1$

Решением уравнения $\sin{t} = -1$ является $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, для нашего случая:

$2x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь исключим из найденных корней $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ те, что удовлетворяют условию $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$. Для этого приравняем выражения для $x$:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{\pi}$:

$1 + 2k = -1 + 4n$

$2k = 4n - 2$

$k = 2n - 1$

Это равенство показывает, что корни совпадают, когда $k$ является нечетным числом. Следовательно, нам нужно исключить все нечетные значения $k$ из серии решений $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$. Оставляем только четные значения $k$.

Пусть $k = 2m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Подставим это в серию решений:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2m)}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi m$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin{2x}}{1 + \cos{2x}} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin{2x} = 0 \\ 1 + \cos{2x} \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$\sin{2x} = 0$

Это частный случай, решение которого:

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь проверим условие, что знаменатель не равен нулю:

$1 + \cos{2x} \neq 0$

$\cos{2x} \neq -1$

Решением уравнения $\cos{t} = -1$ является $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, для нашего случая:

$2x \neq \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь исключим из найденных корней $x = \frac{\pi k}{2}$ те, что удовлетворяют условию $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Приравняем выражения для $x$:

$\frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{\pi}$:

$k = 1 + 2n$

Это равенство показывает, что корни совпадают, когда $k$ является нечетным числом. Следовательно, нам нужно исключить все нечетные значения $k$ из серии решений $x = \frac{\pi k}{2}$. Оставляем только четные значения $k$.

Пусть $k = 2m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Подставим это в серию решений:

$x = \frac{\pi (2m)}{2} = \pi m$

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

83. Решите уравнение $\frac{1 - \cos x - \sin x}{\cos x} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$ \begin{cases} 1 - \cos x - \sin x = 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} $

Сначала решим первое уравнение системы: $1 - \cos x - \sin x = 0$.

Перенесем слагаемые, чтобы получить: $\sin x + \cos x = 1$.

Для решения этого типа уравнений удобно использовать метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, уравнение можно переписать в виде:

$\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, которое распадается на два случая:

1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо проверить найденные серии корней на соответствие второму условию системы: $\cos x \neq 0$.

Условие $\cos x \neq 0$ означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.

Проверим первую серию корней $x = 2\pi n$.
При этих значениях $x$, $\cos(2\pi n) = 1$. Так как $1 \neq 0$, эта серия корней удовлетворяет условию и является решением исходного уравнения.

Проверим вторую серию корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
При этих значениях $x$, $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$. Это противоречит условию $\cos x \neq 0$. Следовательно, эта серия корней является посторонней и не входит в ответ.

Таким образом, решением уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

84. Решите уравнение $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 1\frac{3}{4}$.

Решение

Запишем исходное уравнение и преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$ \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 1\frac{3}{4} $

$ \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = \frac{7}{4} $

Для упрощения уравнения воспользуемся формулой понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $. Применим эту формулу к каждому слагаемому в левой части уравнения:

$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2} + \frac{1 + \cos(6x)}{2} + \frac{1 + \cos(8x)}{2} = \frac{7}{4} $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ (1 + \cos(2x)) + (1 + \cos(4x)) + (1 + \cos(6x)) + (1 + \cos(8x)) = \frac{7}{2} $

Сгруппируем слагаемые:

$ 4 + \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) = \frac{7}{2} $

Перенесем 4 в правую часть:

$ \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) = \frac{7}{2} - 4 $

$ \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) = -\frac{1}{2} $

Мы получили сумму косинусов, аргументы которых ($2x, 4x, 6x, 8x$) образуют арифметическую прогрессию. Для решения такого типа уравнений удобно умножить обе части на $ 2\sin(\frac{d}{2}) $, где $d$ — разность прогрессии. В нашем случае разность $ d=2x $, поэтому умножим на $ 2\sin x $.

Предварительно проверим, не являются ли корни уравнения $ \sin x = 0 $ решениями исходного уравнения. Если $ \sin x = 0 $, то $ x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ \cos^2 x = 1, \cos^2 2x = 1, \cos^2 3x = 1, \cos^2 4x = 1 $. Левая часть исходного уравнения будет равна $ 1+1+1+1 = 4 $, что не равно $ \frac{7}{4} $. Следовательно, $ \sin x \neq 0 $, и мы можем без потери корней умножить уравнение на $ 2\sin x $.

$ 2\sin x \cos(2x) + 2\sin x \cos(4x) + 2\sin x \cos(6x) + 2\sin x \cos(8x) = -2\sin x \cdot \frac{1}{2} $

$ 2\sin x \cos(2x) + 2\sin x \cos(4x) + 2\sin x \cos(6x) + 2\sin x \cos(8x) = -\sin x $

Теперь воспользуемся формулой произведения синуса на косинус $ 2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) = \sin(B+A) - \sin(B-A) $.

$ 2\sin x \cos(2x) = \sin(3x) - \sin(x) $

$ 2\sin x \cos(4x) = \sin(5x) - \sin(3x) $

$ 2\sin x \cos(6x) = \sin(7x) - \sin(5x) $

$ 2\sin x \cos(8x) = \sin(9x) - \sin(7x) $

Подставим эти выражения в уравнение. Левая часть превратится в телескопическую сумму:

$ (\sin(3x) - \sin x) + (\sin(5x) - \sin(3x)) + (\sin(7x) - \sin(5x)) + (\sin(9x) - \sin(7x)) = -\sin x $

После сокращения промежуточных членов получим:

$ \sin(9x) - \sin x = -\sin x $

$ \sin(9x) = 0 $

Решением этого уравнения является:

$ 9x = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{n\pi}{9} $

Теперь необходимо исключить значения $x$, для которых $ \sin x = 0 $.$ \sin(\frac{n\pi}{9}) = 0 $ в том случае, если $ \frac{n\pi}{9} = k\pi $ для некоторого целого $k$. Это означает, что $ \frac{n}{9} = k $, или $ n = 9k $. Таким образом, $ n $ не должно быть кратным 9.

Ответ: $ x = \frac{n\pi}{9} $, где $ n \in \mathbb{Z} $ и $ n $ не является кратным 9.

85. Решите уравнение $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x. $

Исходное уравнение:
$ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x $
Сгруппируем слагаемые, перенеся выражения с косинусами в левую часть, а затем сгруппируем первый и третий член в каждой сумме:
$ (\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) + \cos 2x $
Для преобразования сумм в произведения воспользуемся следующими тригонометрическими формулами:
$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
Применим эти формулы к нашему уравнению:
Для суммы синусов: $ \sin 3x + \sin x = 2 \sin \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 2 \sin 2x \cos x $
Для суммы косинусов: $ \cos 3x + \cos x = 2 \cos \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 2 \cos 2x \cos x $
Теперь подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$ 2 \sin 2x \cos x + \sin 2x = 2 \cos 2x \cos x + \cos 2x $
Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях уравнения:
$ \sin 2x (2 \cos x + 1) = \cos 2x (2 \cos x + 1) $
Перенесем все члены в одну сторону:
$ \sin 2x (2 \cos x + 1) - \cos 2x (2 \cos x + 1) = 0 $
Вынесем общий множитель $ (2 \cos x + 1) $ за скобки:
$ (2 \cos x + 1)(\sin 2x - \cos 2x) = 0 $
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

1. Решаем первое уравнение:
$ 2 \cos x + 1 = 0 $
$ \cos x = -\frac{1}{2} $
Решения этого уравнения имеют вид:
$ x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. Решаем второе уравнение:
$ \sin 2x - \cos 2x = 0 $
$ \sin 2x = \cos 2x $
Разделим обе части уравнения на $ \cos 2x $. Мы можем это сделать, так как если бы $ \cos 2x = 0 $, то из уравнения следовало бы, что $ \sin 2x = 0 $. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, поскольку $ \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 $.
$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 1 $
$ \tan 2x = 1 $
Решения этого уравнения имеют вид:
$ 2x = \arctan(1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.
Ответ: $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z}. $

86. Решите неравенство:

1) $\sin 2x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\operatorname{tg}\left(-\frac{x}{4}\right) < \sqrt{3}$;

3) $\operatorname{ctg} 5x > 1$;

4) $\cos (-3x) > \frac{1}{3}$.

1) $\sin 2x > \frac{\sqrt{3}}{2}$
Введем замену переменной $t = 2x$. Неравенство примет вид $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал, определяемый на единичной окружности. Значения синуса больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ для углов $t$, находящихся в промежутке от $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$.
С учетом периодичности функции синус ($2\pi$), получаем общее решение для $t$:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выполним обратную замену, подставив $2x$ вместо $t$:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Чтобы найти $x$, разделим все части двойного неравенства на 2:
$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

2) $\operatorname{tg}(-\frac{x}{4}) < \sqrt{3}$
Так как тангенс является нечётной функцией ($\operatorname{tg}(-a) = -\operatorname{tg}(a)$), мы можем переписать неравенство в виде:
$-\operatorname{tg}(\frac{x}{4}) < \sqrt{3}$
Умножим обе части на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$\operatorname{tg}(\frac{x}{4}) > -\sqrt{3}$
Введем замену $t = \frac{x}{4}$. Неравенство примет вид $\operatorname{tg} t > -\sqrt{3}$.
Область определения тангенса $t \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Решением неравенства является интервал от $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$ до $\frac{\pi}{2}$ с учетом периодичности $\pi$.
$-\frac{\pi}{3} + \pi n < t < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену:
$-\frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{x}{4} < \frac{\pi}{2} + \pi n$
Умножим все части неравенства на 4:
$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi n < x < 2\pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-\frac{4\pi}{3} + 4\pi n; 2\pi + 4\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

3) $\operatorname{ctg} 5x > 1$
Введем замену $t = 5x$. Неравенство примет вид $\operatorname{ctg} t > 1$.
Область определения котангенса $t \neq \pi k$. Решением неравенства являются углы, лежащие в интервале от $0$ до $\operatorname{arcctg}(1)$ с учетом периодичности $\pi$.
$\pi n < t < \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену:
$\pi n < 5x < \frac{\pi}{4} + \pi n$
Разделим все части неравенства на 5:
$\frac{\pi n}{5} < x < \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\frac{\pi n}{5}; \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}), n \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos(-3x) > \frac{1}{3}$
Так как косинус является чётной функцией ($\cos(-a) = \cos(a)$), мы можем переписать неравенство в виде:
$\cos(3x) > \frac{1}{3}$
Введем замену $t = 3x$. Неравенство примет вид $\cos t > \frac{1}{3}$.
Решением этого неравенства являются углы $t$, для которых соответствующая точка на единичной окружности имеет абсциссу больше $\frac{1}{3}$. Это интервал от $-\arccos(\frac{1}{3})$ до $\arccos(\frac{1}{3})$.
С учетом периодичности функции косинус ($2\pi$), получаем общее решение для $t$:
$-\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n < t < \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену:
$-\arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n < 3x < \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$
Разделим все части неравенства на 3:
$-\frac{1}{3}\arccos(\frac{1}{3}) + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{1}{3}\arccos(\frac{1}{3}) + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-\frac{1}{3}\arccos\frac{1}{3} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{1}{3}\arccos\frac{1}{3} + \frac{2\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z}$.

87. Решите неравенство:

1) $\sin \frac{x}{3} < \frac{1}{2}$;

2) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{x}{2}\right) > \sqrt{3}$;

3) $\operatorname{tg} 2x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

4) $\cos 4x < \frac{1}{4}$.

1) Решим неравенство $\sin \frac{x}{3} < \frac{1}{2}$.
Для решения введем новую переменную $t = \frac{x}{3}$. Исходное неравенство примет вид $\sin t < \frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое неравенство. На единичной окружности значениям $t$, удовлетворяющим этому условию, соответствуют точки, ордината которых (значение синуса) меньше $\frac{1}{2}$.
Граничные точки этой области определяются уравнением $\sin t = \frac{1}{2}$, откуда $t_1 = \frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Интервал, на котором $\sin t < \frac{1}{2}$, начинается после точки $\frac{5\pi}{6}$ и заканчивается перед точкой $\frac{\pi}{6}$ следующего оборота, то есть $2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$.
С учетом периодичности синуса ($2\pi$) общее решение для $t$ записывается в виде двойного неравенства:
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выполним обратную замену, подставив $t = \frac{x}{3}$:
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < \frac{x}{3} < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$.
Для того чтобы найти $x$, умножим все части этого неравенства на 3:
$3 \cdot \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right) < x < 3 \cdot \left(\frac{13\pi}{6} + 2\pi n\right)$
$\frac{5\pi}{2} + 6\pi n < x < \frac{13\pi}{2} + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{5\pi}{2} + 6\pi n; \frac{13\pi}{2} + 6\pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $\operatorname{ctg}\left(-\frac{x}{2}\right) > \sqrt{3}$.
Воспользуемся свойством нечетности котангенса: $\operatorname{ctg}(-a) = -\operatorname{ctg}(a)$. Неравенство можно переписать в виде:
$-\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}\right) > \sqrt{3}$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}\right) < -\sqrt{3}$.
Введем новую переменную $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид $\operatorname{ctg} t < -\sqrt{3}$.
Общее решение неравенства $\operatorname{ctg} t < a$ имеет вид $\operatorname{arcctg} a + \pi n < t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, решение для $t$:
$\frac{5\pi}{6} + \pi n < t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = \frac{x}{2}$:
$\frac{5\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{2} < \pi + \pi n$.
Умножим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:
$2 \cdot \left(\frac{5\pi}{6} + \pi n\right) < x < 2 \cdot (\pi + \pi n)$
$\frac{5\pi}{3} + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{5\pi}{3} + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим неравенство $\operatorname{tg} 2x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Введем новую переменную $t = 2x$. Неравенство примет вид $\operatorname{tg} t < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Общее решение неравенства $\operatorname{tg} t < a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \operatorname{arctg} a + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем значение арктангенса: $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
Таким образом, решение для $t$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = 2x$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x < -\frac{\pi}{6} + \pi n$.
Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:
$\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n\right) < x < \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{6} + \pi n\right)$
$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\right), n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $\cos 4x < \frac{1}{4}$.
Введем новую переменную $t = 4x$. Неравенство примет вид $\cos t < \frac{1}{4}$.
На единичной окружности этому неравенству соответствуют точки, абсцисса которых (значение косинуса) меньше $\frac{1}{4}$.
Граничные точки этой области определяются уравнением $\cos t = \frac{1}{4}$, откуда $t_1 = \arccos\frac{1}{4}$ и $t_2 = -\arccos\frac{1}{4}$ (или $2\pi - \arccos\frac{1}{4}$).
Решением неравенства $\cos t < \frac{1}{4}$ будет интервал, заключенный между этими точками (при движении против часовой стрелки):
$\arccos\frac{1}{4} + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos\frac{1}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = 4x$:
$\arccos\frac{1}{4} + 2\pi n < 4x < 2\pi - \arccos\frac{1}{4} + 2\pi n$.
Разделим все части неравенства на 4, чтобы найти $x$:
$\frac{1}{4}\left(\arccos\frac{1}{4} + 2\pi n\right) < x < \frac{1}{4}\left(2\pi - \arccos\frac{1}{4} + 2\pi n\right)$
$\frac{1}{4}\arccos\frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arccos\frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{1}{4}\arccos\frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arccos\frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2}\right), n \in \mathbb{Z}$.

88. Решите неравенство:

1) $ -\frac{1}{2} < \cos x \le \frac{1}{4}; $

2) $ -2 < \operatorname{tg} x < 3; $

3) $ \frac{1}{3} \le \sin x < \frac{1}{2}; $

4) $ -4 < \operatorname{ctg} x < 1,5; $

5) $ |\operatorname{tg} x| < \sqrt{3}; $

6) $ |\cos 2x| \ge \frac{1}{2}. $

1)Решим двойное неравенство $ -_2^1 < \cos x \le _4^1 $. Это неравенство эквивалентно системе:$ \begin{cases} \cos x \le \frac{1}{4} \\ \cos x > -\frac{1}{2} \end{cases} $Рассмотрим решения на единичной окружности. Решением неравенства $ \cos x \le \frac{1}{4} $ является множество $ x \in [\arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi k, 2\pi - \arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $. Решением неравенства $ \cos x > -\frac{1}{2} $ является множество $ x \in (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $. Для нахождения решения исходного неравенства найдем пересечение этих множеств. Это удобно сделать, рассмотрев один период, например, от $ -\pi $ до $ \pi $. На этом интервале решение для $ \cos x \le \frac{1}{4} $ это $ x \in [\arccos(\frac{1}{4}), \pi] \cup [-\pi, -\arccos(\frac{1}{4})] $. Решение для $ \cos x > -\frac{1}{2} $ это $ x \in (-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}) $. Пересечение этих двух множеств дает два интервала: $ [\arccos(\frac{1}{4}), \frac{2\pi}{3}) $ и $ (-\frac{2\pi}{3}, -\arccos(\frac{1}{4})] $. Добавляя период $ 2\pi k $, получаем общее решение.
Ответ: $ x \in [\arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) \cup (-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, -\arccos(\frac{1}{4}) + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

2)Решим двойное неравенство $ -2 < \operatorname{tg} x < 3 $. Функция $ y = \operatorname{tg} x $ является возрастающей на своем основном периоде $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Поэтому мы можем применить обратную функцию $ \operatorname{arctg} $ к каждой части неравенства:$ \operatorname{arctg}(-2) < x < \operatorname{arctg}(3) $. Так как $ \operatorname{arctg}(-2) = -\operatorname{arctg}(2) $, получаем:$ -\operatorname{arctg}(2) < x < \operatorname{arctg}(3) $. Это решение на одном периоде. Чтобы получить общее решение, добавим период тангенса $ \pi k $.
Ответ: $ x \in (-\operatorname{arctg}(2) + \pi k, \operatorname{arctg}(3) + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

3)Решим двойное неравенство $ \frac{1}{3} \le \sin x < \frac{1}{2} $. Рассмотрим решение на единичной окружности. Нам нужны углы, для которых ордината (значение синуса) находится в промежутке $ [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) $. Такие значения находятся в первой и второй четвертях. В первой четверти, так как $ \sin x $ возрастает, решение будет $ \arcsin(\frac{1}{3}) \le x < \arcsin(\frac{1}{2}) $, то есть $ \arcsin(\frac{1}{3}) \le x < \frac{\pi}{6} $. Во второй четверти, где $ \sin x $ убывает, соответствующие углы $ \pi - x $. Решением будет $ \pi - \arcsin(\frac{1}{2}) < x \le \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) $, то есть $ \frac{5\pi}{6} < x \le \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) $. Объединяя эти решения и добавляя период $ 2\pi k $, получаем общее решение.
Ответ: $ x \in [\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k) \cup (\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

4)Решим двойное неравенство $ -4 < \operatorname{ctg} x < 1,5 $. Функция $ y = \operatorname{ctg} x $ является убывающей на своем основном периоде $ (0, \pi) $. При применении обратной функции $ \operatorname{arcctg} $ к неравенству знаки меняются на противоположные:$ \operatorname{arcctg}(1,5) > x > \operatorname{arcctg}(-4) $. Это можно записать как $ \operatorname{arcctg}(-4) < x < \operatorname{arcctg}(1,5) $. Это решение на одном периоде. Чтобы получить общее решение, добавим период котангенса $ \pi k $.
Ответ: $ x \in (\operatorname{arcctg}(-4) + \pi k, \operatorname{arcctg}(1,5) + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

5)Решим неравенство $ |\operatorname{tg} x| < \sqrt{3} $. Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:$ -\sqrt{3} < \operatorname{tg} x < \sqrt{3} $. Рассмотрим решение на основном периоде тангенса $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Так как $ \operatorname{tg} x $ - возрастающая функция, то:$ \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) < x < \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) $.$ -\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3} $. Добавляя период $ \pi k $, получаем общее решение.
Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{3} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

6)Решим неравенство $ |\cos 2x| \ge \frac{1}{2} $. Это неравенство распадается на два:$ \cos 2x \ge \frac{1}{2} $ или $ \cos 2x \le -\frac{1}{2} $. Сделаем замену $ t = 2x $. Решим совокупность неравенств для $ t $:1) $ \cos t \ge \frac{1}{2} $. Решение: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.2) $ \cos t \le -\frac{1}{2} $. Решение: $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Объединив эти два множества решений, можно заметить, что они повторяются с периодом $ \pi $. Например, на отрезке $ [0, 2\pi] $ решениями являются $ [0, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}, 2\pi] $. Это можно записать в более компактной форме: $ -\frac{\pi}{3} + \pi k \le t \le \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Теперь вернемся к переменной $ x $, подставив $ t = 2x $:$ -\frac{\pi}{3} + \pi k \le 2x \le \frac{\pi}{3} + \pi k $. Разделим все части неравенства на 2:$ -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} $.
Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}], k \in \mathbb{Z} $.