Номер 79, страница 412 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

79. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3}, \\ \cos^2 x - \cos^2 y = -\frac{3}{4}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3}, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{2}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = \frac{1}{3}, \\ \sin \pi x + \sin \pi y = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{3}, \\ \sin x \sin y = 0.25. \end{cases}$

1)

Преобразуем второе уравнение системы, используя формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} $:

$ \frac{1+\cos(2x)}{2} - \frac{1+\cos(2y)}{2} = -\frac{3}{4} $

$ \cos(2x) - \cos(2y) = -\frac{3}{2} $

Применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ -2\sin(x+y)\sin(x-y) = -\frac{3}{2} $

$ \sin(x+y)\sin(x-y) = \frac{3}{4} $

Из первого уравнения системы известно, что $ x - y = \frac{\pi}{3} $, следовательно, $ \sin(x-y) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставим это значение в преобразованное уравнение:

$ \sin(x+y) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} $

$ \sin(x+y) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Отсюда получаем совокупность уравнений: $ x+y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $ или $ x+y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m $, где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: решим систему $ \begin{cases} x-y = \frac{\pi}{3} \\ x+y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \end{cases} $. Складывая уравнения, получаем $ 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi k $. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $ 2y = 2\pi k \Rightarrow y = \pi k $.

Случай 2: решим систему $ \begin{cases} x-y = \frac{\pi}{3} \\ x+y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \end{cases} $. Складывая уравнения, получаем $ 2x = \pi + 2\pi m \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi m $. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $ 2y = \frac{\pi}{3} + 2\pi m \Rightarrow y = \frac{\pi}{6} + \pi m $.

Ответ: $ (\frac{\pi}{3} + \pi k; \pi k) $, $ (\frac{\pi}{2} + \pi m; \frac{\pi}{6} + \pi m) $, где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

2)

Используем формулу произведения косинусов $ \cos x \cos y = \frac{\cos(x-y) + \cos(x+y)}{2} $.

Подставим известные значения $ \cos x \cos y = \frac{1}{2} $ и $ x-y = \frac{\pi}{3} $:

$ \frac{1}{2} = \frac{\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(x+y)}{2} $

$ 1 = \frac{1}{2} + \cos(x+y) $, откуда $ \cos(x+y) = \frac{1}{2} $.

Теперь решаем совокупность двух систем:

а) $ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3} \\ x + y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \end{cases}, k \in \mathbb{Z} $. Решая систему, получаем: $ x = \frac{\pi}{3} + \pi k, y = \pi k $.

б) $ \begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3} \\ x + y = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \end{cases}, n \in \mathbb{Z} $. Решая систему, получаем: $ x = \pi n, y = -\frac{\pi}{3} + \pi n $.

Ответ: $ (\frac{\pi}{3} + \pi k, \pi k); (\pi n, \pi n - \frac{\pi}{3}) $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

3)

Из первого уравнения выразим $ y = \frac{1}{3} - x $. Подставим во второе уравнение:

$ \sin(\pi x) + \sin(\pi(\frac{1}{3} - x)) = 1 \Rightarrow \sin(\pi x) + \sin(\frac{\pi}{3} - \pi x) = 1 $

Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ 2\sin\frac{\pi x + \frac{\pi}{3} - \pi x}{2} \cos\frac{\pi x - (\frac{\pi}{3} - \pi x)}{2} = 1 $

$ 2\sin(\frac{\pi}{6}) \cos(\pi x - \frac{\pi}{6}) = 1 $

$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(\pi x - \frac{\pi}{6}) = 1 \Rightarrow \cos(\pi x - \frac{\pi}{6}) = 1 $

Отсюда $ \pi x - \frac{\pi}{6} = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ \pi x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{1}{6} + 2k $.

Тогда $ y = \frac{1}{3} - x = \frac{1}{3} - (\frac{1}{6} + 2k) = \frac{1}{6} - 2k $.

Ответ: $ (\frac{1}{6} + 2k, \frac{1}{6} - 2k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

4)

Преобразуем второе уравнение, используя формулу произведения синусов $ \sin x \sin y = \frac{\cos(x-y) - \cos(x+y)}{2} $.

Подставим известные значения $ \sin x \sin y = 0,25 = \frac{1}{4} $ и $ x+y = \frac{\pi}{3} $:

$ \frac{1}{4} = \frac{\cos(x-y) - \cos(\frac{\pi}{3})}{2} $

$ \frac{1}{2} = \cos(x-y) - \frac{1}{2} $

$ \cos(x-y) = 1 $

Отсюда $ x-y = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь решим систему уравнений $ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{3} \\ x - y = 2\pi k \end{cases} $.

Складывая уравнения, получаем $ 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi k $.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $ 2y = \frac{\pi}{3} - 2\pi k \Rightarrow y = \frac{\pi}{6} - \pi k $.

Ответ: $ (\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{6} - \pi k) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.