Номер 81, страница 412 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

81. Решите уравнение:

1) $\frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} = 0;$

2) $\frac{\sin 2x \cos 3x - \cos 2x \sin 3x}{1 + \cos x} = 0.$

1) $\frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе:

$\begin{cases} \cos 2x = 0 \\ 1 - \sin 2x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$\cos 2x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решения имеют вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь проверим условие неравенства для знаменателя:

$1 - \sin 2x \neq 0 \implies \sin 2x \neq 1$

Подставим в это неравенство найденное значение для $2x$:

$\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) \neq 1$

Используем формулы приведения. Если $k$ - четное число, то есть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$, то:

$\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Эти значения не удовлетворяют условию $\sin 2x \neq 1$, поэтому соответствующие им корни нужно исключить.

Если $k$ - нечетное число, то есть $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$, то:

$\sin(\frac{\pi}{2} + (2n+1)\pi) = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi n) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

Эти значения удовлетворяют условию $-1 \neq 1$.

Таким образом, в серии решений $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ нужно оставить только те, для которых $k$ - нечетное число. Подставим $k = 2n + 1$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2n + 1)}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin 2x \cos 3x - \cos 2x \sin 3x}{1 + \cos x} = 0$

Сначала упростим числитель дроби, используя формулу синуса разности углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 3x$.

$\sin 2x \cos 3x - \cos 2x \sin 3x = \sin(2x - 3x) = \sin(-x)$

Так как синус - нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin x$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{-\sin x}{1 + \cos x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Получаем систему:

$\begin{cases} -\sin x = 0 \\ 1 + \cos x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$-\sin x = 0 \implies \sin x = 0$

Решения этого уравнения:

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь проверим условие для знаменателя:

$1 + \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq -1$

Найдем, при каких значениях $x$ из серии $x=\pi k$ это условие нарушается.

$\cos(\pi k) \neq -1$

Если $k$ - четное число, то есть $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$, то:

$\cos(2\pi n) = 1$. Условие $1 \neq -1$ выполняется.

Если $k$ - нечетное число, то есть $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$, то:

$\cos((2n+1)\pi) = -1$. Условие $\cos x \neq -1$ нарушается.

Следовательно, из серии решений $x = \pi k$ мы должны исключить случаи, когда $k$ нечетно. Остаются только решения, где $k$ - четное число.

Пусть $k = 2n$, тогда $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.