Номер 84, страница 412 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

84. Решите уравнение $\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 1\frac{3}{4}$.

Решение

Запишем исходное уравнение и преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$ \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = 1\frac{3}{4} $

$ \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x = \frac{7}{4} $

Для упрощения уравнения воспользуемся формулой понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $. Применим эту формулу к каждому слагаемому в левой части уравнения:

$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2} + \frac{1 + \cos(6x)}{2} + \frac{1 + \cos(8x)}{2} = \frac{7}{4} $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ (1 + \cos(2x)) + (1 + \cos(4x)) + (1 + \cos(6x)) + (1 + \cos(8x)) = \frac{7}{2} $

Сгруппируем слагаемые:

$ 4 + \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) = \frac{7}{2} $

Перенесем 4 в правую часть:

$ \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) = \frac{7}{2} - 4 $

$ \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) = -\frac{1}{2} $

Мы получили сумму косинусов, аргументы которых ($2x, 4x, 6x, 8x$) образуют арифметическую прогрессию. Для решения такого типа уравнений удобно умножить обе части на $ 2\sin(\frac{d}{2}) $, где $d$ — разность прогрессии. В нашем случае разность $ d=2x $, поэтому умножим на $ 2\sin x $.

Предварительно проверим, не являются ли корни уравнения $ \sin x = 0 $ решениями исходного уравнения. Если $ \sin x = 0 $, то $ x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ \cos^2 x = 1, \cos^2 2x = 1, \cos^2 3x = 1, \cos^2 4x = 1 $. Левая часть исходного уравнения будет равна $ 1+1+1+1 = 4 $, что не равно $ \frac{7}{4} $. Следовательно, $ \sin x \neq 0 $, и мы можем без потери корней умножить уравнение на $ 2\sin x $.

$ 2\sin x \cos(2x) + 2\sin x \cos(4x) + 2\sin x \cos(6x) + 2\sin x \cos(8x) = -2\sin x \cdot \frac{1}{2} $

$ 2\sin x \cos(2x) + 2\sin x \cos(4x) + 2\sin x \cos(6x) + 2\sin x \cos(8x) = -\sin x $

Теперь воспользуемся формулой произведения синуса на косинус $ 2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) = \sin(B+A) - \sin(B-A) $.

$ 2\sin x \cos(2x) = \sin(3x) - \sin(x) $

$ 2\sin x \cos(4x) = \sin(5x) - \sin(3x) $

$ 2\sin x \cos(6x) = \sin(7x) - \sin(5x) $

$ 2\sin x \cos(8x) = \sin(9x) - \sin(7x) $

Подставим эти выражения в уравнение. Левая часть превратится в телескопическую сумму:

$ (\sin(3x) - \sin x) + (\sin(5x) - \sin(3x)) + (\sin(7x) - \sin(5x)) + (\sin(9x) - \sin(7x)) = -\sin x $

После сокращения промежуточных членов получим:

$ \sin(9x) - \sin x = -\sin x $

$ \sin(9x) = 0 $

Решением этого уравнения является:

$ 9x = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{n\pi}{9} $

Теперь необходимо исключить значения $x$, для которых $ \sin x = 0 $.$ \sin(\frac{n\pi}{9}) = 0 $ в том случае, если $ \frac{n\pi}{9} = k\pi $ для некоторого целого $k$. Это означает, что $ \frac{n}{9} = k $, или $ n = 9k $. Таким образом, $ n $ не должно быть кратным 9.

Ответ: $ x = \frac{n\pi}{9} $, где $ n \in \mathbb{Z} $ и $ n $ не является кратным 9.