Номер 83, страница 412 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

83. Решите уравнение $\frac{1 - \cos x - \sin x}{\cos x} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$ \begin{cases} 1 - \cos x - \sin x = 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} $

Сначала решим первое уравнение системы: $1 - \cos x - \sin x = 0$.

Перенесем слагаемые, чтобы получить: $\sin x + \cos x = 1$.

Для решения этого типа уравнений удобно использовать метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, уравнение можно переписать в виде:

$\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, которое распадается на два случая:

1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо проверить найденные серии корней на соответствие второму условию системы: $\cos x \neq 0$.

Условие $\cos x \neq 0$ означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.

Проверим первую серию корней $x = 2\pi n$.
При этих значениях $x$, $\cos(2\pi n) = 1$. Так как $1 \neq 0$, эта серия корней удовлетворяет условию и является решением исходного уравнения.

Проверим вторую серию корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
При этих значениях $x$, $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$. Это противоречит условию $\cos x \neq 0$. Следовательно, эта серия корней является посторонней и не входит в ответ.

Таким образом, решением уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.