Номер 87, страница 412 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

87. Решите неравенство:

1) $\sin \frac{x}{3} < \frac{1}{2}$;

2) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{x}{2}\right) > \sqrt{3}$;

3) $\operatorname{tg} 2x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

4) $\cos 4x < \frac{1}{4}$.

1) Решим неравенство $\sin \frac{x}{3} < \frac{1}{2}$.
Для решения введем новую переменную $t = \frac{x}{3}$. Исходное неравенство примет вид $\sin t < \frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое неравенство. На единичной окружности значениям $t$, удовлетворяющим этому условию, соответствуют точки, ордината которых (значение синуса) меньше $\frac{1}{2}$.
Граничные точки этой области определяются уравнением $\sin t = \frac{1}{2}$, откуда $t_1 = \frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Интервал, на котором $\sin t < \frac{1}{2}$, начинается после точки $\frac{5\pi}{6}$ и заканчивается перед точкой $\frac{\pi}{6}$ следующего оборота, то есть $2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$.
С учетом периодичности синуса ($2\pi$) общее решение для $t$ записывается в виде двойного неравенства:
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выполним обратную замену, подставив $t = \frac{x}{3}$:
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < \frac{x}{3} < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$.
Для того чтобы найти $x$, умножим все части этого неравенства на 3:
$3 \cdot \left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right) < x < 3 \cdot \left(\frac{13\pi}{6} + 2\pi n\right)$
$\frac{5\pi}{2} + 6\pi n < x < \frac{13\pi}{2} + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{5\pi}{2} + 6\pi n; \frac{13\pi}{2} + 6\pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $\operatorname{ctg}\left(-\frac{x}{2}\right) > \sqrt{3}$.
Воспользуемся свойством нечетности котангенса: $\operatorname{ctg}(-a) = -\operatorname{ctg}(a)$. Неравенство можно переписать в виде:
$-\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}\right) > \sqrt{3}$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}\right) < -\sqrt{3}$.
Введем новую переменную $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид $\operatorname{ctg} t < -\sqrt{3}$.
Общее решение неравенства $\operatorname{ctg} t < a$ имеет вид $\operatorname{arcctg} a + \pi n < t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем значение арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, решение для $t$:
$\frac{5\pi}{6} + \pi n < t < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = \frac{x}{2}$:
$\frac{5\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{2} < \pi + \pi n$.
Умножим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:
$2 \cdot \left(\frac{5\pi}{6} + \pi n\right) < x < 2 \cdot (\pi + \pi n)$
$\frac{5\pi}{3} + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{5\pi}{3} + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим неравенство $\operatorname{tg} 2x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Введем новую переменную $t = 2x$. Неравенство примет вид $\operatorname{tg} t < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Общее решение неравенства $\operatorname{tg} t < a$ имеет вид $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < \operatorname{arctg} a + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем значение арктангенса: $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
Таким образом, решение для $t$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t < -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = 2x$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < 2x < -\frac{\pi}{6} + \pi n$.
Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:
$\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n\right) < x < \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{6} + \pi n\right)$
$-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\right), n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $\cos 4x < \frac{1}{4}$.
Введем новую переменную $t = 4x$. Неравенство примет вид $\cos t < \frac{1}{4}$.
На единичной окружности этому неравенству соответствуют точки, абсцисса которых (значение косинуса) меньше $\frac{1}{4}$.
Граничные точки этой области определяются уравнением $\cos t = \frac{1}{4}$, откуда $t_1 = \arccos\frac{1}{4}$ и $t_2 = -\arccos\frac{1}{4}$ (или $2\pi - \arccos\frac{1}{4}$).
Решением неравенства $\cos t < \frac{1}{4}$ будет интервал, заключенный между этими точками (при движении против часовой стрелки):
$\arccos\frac{1}{4} + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos\frac{1}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = 4x$:
$\arccos\frac{1}{4} + 2\pi n < 4x < 2\pi - \arccos\frac{1}{4} + 2\pi n$.
Разделим все части неравенства на 4, чтобы найти $x$:
$\frac{1}{4}\left(\arccos\frac{1}{4} + 2\pi n\right) < x < \frac{1}{4}\left(2\pi - \arccos\frac{1}{4} + 2\pi n\right)$
$\frac{1}{4}\arccos\frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arccos\frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{1}{4}\arccos\frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\arccos\frac{1}{4} + \frac{\pi n}{2}\right), n \in \mathbb{Z}$.