Номер 85, страница 412 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

85. Решите уравнение $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x. $

Исходное уравнение:
$ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x $
Сгруппируем слагаемые, перенеся выражения с косинусами в левую часть, а затем сгруппируем первый и третий член в каждой сумме:
$ (\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) + \cos 2x $
Для преобразования сумм в произведения воспользуемся следующими тригонометрическими формулами:
$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
Применим эти формулы к нашему уравнению:
Для суммы синусов: $ \sin 3x + \sin x = 2 \sin \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 2 \sin 2x \cos x $
Для суммы косинусов: $ \cos 3x + \cos x = 2 \cos \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 2 \cos 2x \cos x $
Теперь подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$ 2 \sin 2x \cos x + \sin 2x = 2 \cos 2x \cos x + \cos 2x $
Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях уравнения:
$ \sin 2x (2 \cos x + 1) = \cos 2x (2 \cos x + 1) $
Перенесем все члены в одну сторону:
$ \sin 2x (2 \cos x + 1) - \cos 2x (2 \cos x + 1) = 0 $
Вынесем общий множитель $ (2 \cos x + 1) $ за скобки:
$ (2 \cos x + 1)(\sin 2x - \cos 2x) = 0 $
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.

1. Решаем первое уравнение:
$ 2 \cos x + 1 = 0 $
$ \cos x = -\frac{1}{2} $
Решения этого уравнения имеют вид:
$ x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. Решаем второе уравнение:
$ \sin 2x - \cos 2x = 0 $
$ \sin 2x = \cos 2x $
Разделим обе части уравнения на $ \cos 2x $. Мы можем это сделать, так как если бы $ \cos 2x = 0 $, то из уравнения следовало бы, что $ \sin 2x = 0 $. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, поскольку $ \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 $.
$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 1 $
$ \tan 2x = 1 $
Решения этого уравнения имеют вид:
$ 2x = \arctan(1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.
Ответ: $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z}. $