Номер 78, страница 411 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

78. Решите уравнение $y^2 - 3\sqrt{2}(\cos x - \sin x)y + 9 = 0.$

Данное уравнение $y^2 - 3\sqrt{2}(\cos x - \sin x)y + 9 = 0$ можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной $y$. Для того чтобы это уравнение имело действительные решения, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b = -3\sqrt{2}(\cos x - \sin x)$ и $c = 9$.

$D = (-3\sqrt{2}(\cos x - \sin x))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9$

$D = 18(\cos x - \sin x)^2 - 36$

Используя формулу квадрата разности и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а также формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, преобразуем выражение:

$D = 18(\cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x) - 36 = 18(1 - \sin(2x)) - 36$

$D = 18 - 18\sin(2x) - 36 = -18 - 18\sin(2x) = -18(1 + \sin(2x))$

Условие существования действительных корней $D \ge 0$ приводит к неравенству:

$-18(1 + \sin(2x)) \ge 0$

Разделив обе части на $-18$, меняем знак неравенства:

$1 + \sin(2x) \le 0$

$\sin(2x) \le -1$

Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, единственное значение, удовлетворяющее этому неравенству, это $\sin(2x) = -1$.

При $\sin(2x) = -1$ дискриминант $D = -18(1 + (-1)) = 0$. Это означает, что уравнение имеет единственный корень для $y$.

Сначала найдем значения $x$, для которых выполняется условие $\sin(2x) = -1$:

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем соответствующее значение $y$. При $D=0$ корень квадратного уравнения находится по формуле $y = -\frac{b}{2a}$:

$y = -\frac{-3\sqrt{2}(\cos x - \sin x)}{2 \cdot 1} = \frac{3\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)$

Для упрощения выражения $\cos x - \sin x$ используем метод вспомогательного угла:

$\cos x - \sin x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x) = \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4})$

Подставим это в формулу для $y$:

$y = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 3\cos(x + \frac{\pi}{4})$

Теперь подставим найденные значения $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ в выражение для $y$:

$y = 3\cos(-\frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\pi}{4}) = 3\cos(\pi k)$

Значение $\cos(\pi k)$ равно $1$ при четном $k$ и $-1$ при нечетном $k$. Это можно записать как $(-1)^k$.

Следовательно, $y = 3(-1)^k$.

Решениями уравнения являются пары чисел $(x, y)$, которые зависят от целочисленного параметра $k$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, y = 3(-1)^k$, где $k \in \mathbb{Z}$.