Номер 82, страница 412 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

82. Решите уравнение:

1) $\frac{\cos 2x}{1 + \sin 2x} = 0;$

2) $\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = 0.$

1) $\frac{\cos{2x}}{1 + \sin{2x}} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos{2x} = 0 \\ 1 + \sin{2x} \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$\cos{2x} = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решение:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 2, получим:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь проверим условие, что знаменатель не равен нулю:

$1 + \sin{2x} \neq 0$

$\sin{2x} \neq -1$

Решением уравнения $\sin{t} = -1$ является $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, для нашего случая:

$2x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь исключим из найденных корней $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ те, что удовлетворяют условию $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$. Для этого приравняем выражения для $x$:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{\pi}$:

$1 + 2k = -1 + 4n$

$2k = 4n - 2$

$k = 2n - 1$

Это равенство показывает, что корни совпадают, когда $k$ является нечетным числом. Следовательно, нам нужно исключить все нечетные значения $k$ из серии решений $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$. Оставляем только четные значения $k$.

Пусть $k = 2m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Подставим это в серию решений:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2m)}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi m$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin{2x}}{1 + \cos{2x}} = 0$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin{2x} = 0 \\ 1 + \cos{2x} \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$\sin{2x} = 0$

Это частный случай, решение которого:

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь проверим условие, что знаменатель не равен нулю:

$1 + \cos{2x} \neq 0$

$\cos{2x} \neq -1$

Решением уравнения $\cos{t} = -1$ является $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, для нашего случая:

$2x \neq \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь исключим из найденных корней $x = \frac{\pi k}{2}$ те, что удовлетворяют условию $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Приравняем выражения для $x$:

$\frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{\pi}$:

$k = 1 + 2n$

Это равенство показывает, что корни совпадают, когда $k$ является нечетным числом. Следовательно, нам нужно исключить все нечетные значения $k$ из серии решений $x = \frac{\pi k}{2}$. Оставляем только четные значения $k$.

Пусть $k = 2m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Подставим это в серию решений:

$x = \frac{\pi (2m)}{2} = \pi m$

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.